Calcule as integrais abaixo: integral sec ^2(2 x) tg(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral sec^2(2x) tan(2x) , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que é super útil para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = tan(2x). Isso porque a derivada de tan(2x) é 2sec^2(2x), que aparece na nossa integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = 2sec^2(2x)
Isso significa que:
du = 2sec^2(2x) , dx

Passo 4

Queremos expressar dx em termos de du:
dx = du2sec^2(2x)
Mas olha só, na nossa integral original temos sec^2(2x) tan(2x) , dx, que é exatamente tan(2x) vezes sec^2(2x) , dx. Com a substituição que fizemos, isso vira:
integral sec^2(2x) tan(2x) , dx = integral u cdot du2

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral u cdot du2 = 12 integral u , du
Essa é uma integral básica de u em relação a u.

Passo 6

Vamos integrar:
12 integral u , du = 12 cdot u^22 + C = u^24 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos voltar à variável original substituindo u = tan(2x):
u^24 + C = tan^2(2x)4 + C

Resposta

integral sec^2(2x) tan(2x) , dx = tan^2(2x)4 + C

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