Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo: v(t) = 7 t^2 - t e x(0) = 6

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento de uma partícula ao longo do eixo . A posição da partícula é dada por , a velocidade por e a aceleração por . A gente precisa descobrir a função posição quando a velocidade é e sabemos que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que, para encontrar a posição , precisamos integrar a função velocidade. Integrar é o processo inverso da derivada, ou seja, se a derivada de é , então a integral de vai nos dar .

Passo 3

Vamos fazer a integral de :
Para integrar cada termo:
  • A integral de em relação a é
  • A integral de em relação a é
Então, juntando tudo:
Aqui, é a constante de integração que precisamos descobrir.

Passo 4

Para achar a constante , usamos a condição inicial que foi dada: . Vamos substituir na equação que encontramos:

Resposta

Portanto, a função posição é:

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