Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo: v(t) = 1 / (1 - t^2) e x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo x. A gente sabe que a posição da partícula é dada por x(t), a velocidade é , e a aceleração é . Aqui, a gente precisa encontrar a função posição x(t) quando a velocidade é e a condição inicial é que . Vamos usar o conceito de integração para achar x(t) a partir de v(t).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade v(t) é a derivada da posição x(t). Então, se quisermos encontrar x(t), precisamos integrar a função velocidade em relação ao tempo. A integral da velocidade nos dá a posição.

Passo 3

Vamos calcular a integral de em relação a t. A expressão pode ser decomposta usando frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos fazendo a integral combinada, podemos juntar as constantes:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C. Sabemos que . Substituindo na equação:

Resposta

A função posição da partícula é:

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