Uma partícula se desloca sobre o eixo de acordo com uma função posição . Sendo a função velocidade da partícula e a a função aceleração da partícula, determine nos casos abaixo: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula ao longo do eixo . A gente sabe que a posição da partícula é dada por , a velocidade é , e a aceleração é . Aqui, a gente precisa encontrar a função posição quando a velocidade é e a condição inicial é que . Vamos usar o conceito de integração para achar a partir de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição . Então, se quisermos encontrar , precisamos integrar a função velocidade em relação ao tempo. A integral da velocidade nos dá a posição.
Passo 3
Vamos calcular a integral de em relação a . A expressão pode ser decomposta usando frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Como estamos fazendo a integral combinada, podemos juntar as constantes:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C. Sabemos que . Substituindo na equação: