Encontre y'(x) sabendo que y = y(x) e y^x = x^y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar sabendo que e . Aqui, estamos lidando com derivadas implícitas e exponenciais, então vamos precisar usar logaritmos e regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural ( ) nos dois lados da equação para tornar a diferenciação mais fácil. Assim, temos:

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos logaritmos que diz . Aplicando isso em ambos os lados:

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então usaremos a regra do produto e a regra da cadeia:
Derivando cada lado:

Passo 5

Agora, vamos isolar os termos que contêm de um lado da equação:

Passo 6

Fatoramos do lado esquerdo:

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A derivada é:

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