Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
em relação a
. Isso envolve um pouco de cálculo integral, especificamente frações racionais e técnicas de integração como divisão de polinômios e substituição. Vamos precisar identificar uma maneira de simplificar essa expressão para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Observamos que ele pode ser reescrito como
. Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos expandir o numerador para facilitar a divisão:
Então, a integral permanece:
Passo 4
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador. Podemos reescrever a fração:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a integral fica:
Podemos separar em duas integrais:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeira parte:
Sabemos que a integral de
é
:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Aqui, usamos substituição. Vamos deixar
, então
. Portanto, a integral se torna:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.