Calcule as integrais abaixo
integral x^2+2 x+1(x^2+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Isso envolve um pouco de cálculo integral, especificamente frações racionais e técnicas de integração como divisão de polinômios e substituição. Vamos precisar identificar uma maneira de simplificar essa expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador integral (x + 1)^2(x^2 + 1)^2 dx . Observamos que ele pode ser reescrito como . Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos expandir o numerador para facilitar a divisão:
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1
Então, a integral permanece:
integral x^2 + 2x + 1(x^2 + 1)^2 dx

Passo 4

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador. Podemos reescrever a fração:
x^2 + 2x + 1(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1 + 2x(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1(x^2 + 1)^2 + 2x(x^2 + 1)^2
Simplificando:
1x^2 + 1 + 2x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral ( 1x^2 + 1 + 2x(x^2 + 1)^2 ) dx
Podemos separar em duas integrais:
integral 1x^2 + 1 dx + integral 2x(x^2 + 1)^2 dx

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeira parte:
integral 1x^2 + 1 dx
Sabemos que a integral de arctan(x) é :

Passo 7

Agora, a segunda integral:
integral 2x(x^2 + 1)^2 dx
Aqui, usamos substituição. Vamos deixar integral duu^2 = -1u + C = -1x^2 + 1 + C , então . Portanto, a integral se torna:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
arctan(x) - 1x^2 + 1 + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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