(ENADE 2014) - Um dos problemas mais importantes estudados pelo cálculo diferencial e integral diz respeito à maximização e minimização de funções. Um desses problemas está relacionado à função cúbica definida por f(x) = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d em que a, b, c e d são constantes reais, com a não nulo. Acerca dessa cúbica, avalie as afirmações a seguir:
I) A função f possui apenas um ponto de inflexão, independentemente dos valores de a, b, c e d.
II) Se b^2 - 3*a*c > 0, então f possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local.
III) Se f possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, então a média aritmética das abscissas desses dois pontos extremos corresponde à abscissa do ponto de inflexão.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas
(b) II, apenas
© I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função cúbica do tipo , onde e são números reais e não é zero. A gente vai analisar três afirmações sobre os pontos de inflexão e os extremos (máximos e mínimos) dessa função. Para resolver, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a análise da primeira e segunda derivadas para identificar extremos e pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde estão os extremos da função . Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada :
Os extremos ocorrem onde . Então, resolvemos a equação quadrática:
O número de soluções reais dessa equação depende do discriminante :

Passo 3

Agora, vamos analisar o discriminante :
  • Se , a equação tem duas soluções reais distintas, ou seja, existem dois pontos extremos (um máximo e um mínimo).
  • Se , há uma única solução real, significando um ponto de inflexão onde a derivada é zero, mas não há extremos locais.
  • Se , não há soluções reais, o que implica que não há pontos extremos na função.
Então, a condição garante que , ou seja, a função tem dois pontos extremos.

Passo 4

Agora, vamos para o ponto de inflexão. A segunda derivada nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão:
O ponto de inflexão ocorre onde :
Isso mostra que, independentemente dos valores de e , há sempre um único ponto de inflexão.

Passo 5

Agora, vamos verificar a terceira afirmação. Se a função tem um ponto de máximo e um de mínimo, as abscissas desses pontos extremos são as soluções da equação . Vamos chamar essas soluções de e .
A média aritmética dessas abscissas é:
Que é exatamente a abscissa do ponto de inflexão que encontramos anteriormente.

Resposta

A alternativa correta é (d) II e III, apenas.

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