(ENADE 2014) - Um dos problemas mais importantes estudados pelo cálculo diferencial e integral diz respeito à maximização e minimização de funções. Um desses problemas está relacionado à função cúbica definida por
em que
e
são constantes reais, com a não nulo. Acerca dessa cúbica, avalie as afirmações a seguir:
I) A função
possui apenas um ponto de inflexão, independentemente dos valores de
e
.
II) Se
, então
possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local.
III) Se
possui um ponto de máximo local e um ponto de mínimo local, então a média aritmética das abscissas desses dois pontos extremos corresponde à abscissa do ponto de inflexão.
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas
(b) II, apenas
© I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III
I) A função
II) Se
III) Se
É correto o que se afirma em:
(a) I, apenas
(b) II, apenas
© I e III, apenas
(d) II e III, apenas
(e) I, II e III
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função cúbica do tipo
, onde
e
são números reais e
não é zero. A gente vai analisar três afirmações sobre os pontos de inflexão e os extremos (máximos e mínimos) dessa função. Para resolver, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a análise da primeira e segunda derivadas para identificar extremos e pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde estão os extremos da função
. Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada
:
Os extremos ocorrem onde
. Então, resolvemos a equação quadrática:
O número de soluções reais dessa equação depende do discriminante
:
Passo 3
Agora, vamos analisar o discriminante
:
- Se
, a equação tem duas soluções reais distintas, ou seja, existem dois pontos extremos (um máximo e um mínimo). - Se
, há uma única solução real, significando um ponto de inflexão onde a derivada é zero, mas não há extremos locais. - Se
, não há soluções reais, o que implica que não há pontos extremos na função.
Então, a condição
garante que
, ou seja, a função tem dois pontos extremos.
Passo 4
Agora, vamos para o ponto de inflexão. A segunda derivada
nos ajuda a encontrar os pontos de inflexão:
O ponto de inflexão ocorre onde
:
Isso mostra que, independentemente dos valores de
e
, há sempre um único ponto de inflexão.
Passo 5
Agora, vamos verificar a terceira afirmação. Se a função tem um ponto de máximo e um de mínimo, as abscissas desses pontos extremos são as soluções da equação
. Vamos chamar essas soluções de
e
.
A média aritmética dessas abscissas é:
Que é exatamente a abscissa do ponto de inflexão que encontramos anteriormente.
Resposta
A alternativa correta é (d) II e III, apenas.