Determine argumento no ramo principal onde é cada um dos números 1+i, (1+i)^4. Calcule o logaritmo (ramo principal) desses números.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o argumento no ramo principal dos números e . Além disso, vamos calcular o logaritmo desses mesmos números usando o ramo principal. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como argumentos e logaritmos complexos. Não se preocupa se esses termos parecem complicados, eu vou explicar cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o argumento do número . O argumento de um número complexo é o ângulo que ele forma com o eixo real no plano complexo. Para , temos que:
Então, o argumento é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o argumento do número . Sabemos que, ao elevar um número complexo à potência , o argumento multiplica por . Já encontramos que o argumento de é , então:

Passo 4

Vamos calcular o logaritmo do número no ramo principal. O logaritmo de um número complexo no ramo principal é dado por:
Primeiro, encontramos o módulo de :
Já temos o argumento . Então:

Passo 5

Por fim, vamos calcular o logaritmo de . Sabendo que , temos:
Substituindo :

Resposta

  • Argumento de : radianos
  • Argumento de : radianos
  • Logaritmo de :
  • Logaritmo de :

Exercícios relacionados