Calcule as integrais abaixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que você trouxe:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial e a fração parcial. Esses métodos nos ajudam a simplificar integrais que envolvem polinômios no numerador e denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. O grau de
é 4, e o denominador
se expande para um polinômio de grau 3. Como 4 > 3, precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração.
Passo 3
Vamos dividir
por
. Primeiro, expandimos o denominador:
Agora, dividimos
por
.
Passo 4
Dividindo
por
dá
. Multiplicamos
pelo denominador:
Subtraímos isso do numerador original:
Passo 5
Agora, repetimos o processo com o novo polinômio
. Dividimos
por
e obtemos
. Multiplicamos
pelo denominador:
Subtraímos:
Passo 6
Então, a divisão polinomial nos dá:
Agora, precisamos integrar cada parte separadamente:
Passo 7
Vamos trabalhar com a fração
. Para integrar isso, usamos a fração parcial, que consiste em decompor a fração em termos mais simples. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, assumimos que:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
,
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 9
Agora, substituímos
,
e
de volta na expressão de fração parcial:
Agora, integramos cada termo:
Resposta
A integral resolvida é: