Calcule as integrais abaixo
integral x^4(x^2-1)(x+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que você trouxe:
integral x^4(x^2-1)(x+2) , dx
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar usar a divisão polinomial e a fração parcial. Esses métodos nos ajudam a simplificar integrais que envolvem polinômios no numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador. O grau de é 4, e o denominador se expande para um polinômio de grau 3. Como 4 > 3, precisamos fazer a divisão polinomial para simplificar a fração.

Passo 3

Vamos dividir (x^2-1)(x+2) = x^3 + 2x^2 - x - 2 por . Primeiro, expandimos o denominador:
Agora, dividimos por .

Passo 4

Dividindo x times (x^3 + 2x^2 - x - 2) = x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x por x^4 - (x^4 + 2x^3 - x^2 - 2x) = -2x^3 + x^2 + 2x . Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos isso do numerador original:

Passo 5

Agora, repetimos o processo com o novo polinômio -2 times (x^3 + 2x^2 - x - 2) = -2x^3 -4x^2 + 2x + 4 . Dividimos -2x^3 + x^2 + 2x - (-2x^3 -4x^2 + 2x + 4) = 5x^2 - 4 por e obtemos . Multiplicamos pelo denominador:
Subtraímos:

Passo 6

Então, a divisão polinomial nos dá:
x^4(x^2-1)(x+2) = x - 2 + 5x^2 - 4(x^2-1)(x+2)
Agora, precisamos integrar cada parte separadamente:
integral ( x - 2 + 5x^2 - 4(x^2-1)(x+2) ) dx = integral x , dx - integral 2 , dx + integral 5x^2 - 4(x^2-1)(x+2) , dx

Passo 7

Vamos trabalhar com a fração (x^2-1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2) . Para integrar isso, usamos a fração parcial, que consiste em decompor a fração em termos mais simples. Primeiro, fatoramos o denominador:
5x^2 - 4(x-1)(x+1)(x+2) = Ax-1 + Bx+1 + Cx+2
Então, assumimos que:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 5x^2 - 4 = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1) , temos:
5(1)^2 - 4 = A(2)(3) Rightarrow 1 = 6A Rightarrow A = 16
Para encontrar 5(-1)^2 - 4 = B(-2)(1) Rightarrow 1 = -2B Rightarrow B = -12 , 5(-2)^2 - 4 = C(-3)(-1) Rightarrow 16 = 3C Rightarrow C = 163 e , escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, substituímos 5x^2 - 4(x-1)(x+1)(x+2) = 1/6x-1 - 1/2x+1 + 16/3x+2 , integral 1/6x-1 , dx - integral 1/2x+1 , dx + integral 16/3x+2 , dx = 16 ln|x-1| - 12 ln|x+1| + 163 ln|x+2| + C e de volta na expressão de fração parcial:
Agora, integramos cada termo:

Resposta

A integral resolvida é:
12 x^2 - 2x + 16 ln|x-1| - 12 ln|x+1| + 163 ln|x+2| + C

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