Determine os intervalos onde cada uma das funções abaixo é contínua.
g) f(x) = { 1/(x-2), se x <= 1; 1/x, se x > 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função é contínua. Isso está relacionado ao conceito de continuidade nas funções matemáticas. Para isso, vamos analisar cada parte da função e ver onde ela pode ter problemas, como divisões por zero ou pontos onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função :
Vamos dividir a análise nas duas partes da função: quando e quando .

Passo 3

Para , temos . Essa função é uma fração, e ela é contínua em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, queremos que , ou seja, . Mas como estamos considerando , e 2 está fora desse intervalo, não precisamos nos preocupar com essa divisão por zero aqui. Assim, essa parte da função é contínua para todo .

Passo 4

Agora, para , temos . Novamente, essa é uma fração, e ela é contínua onde o denominador não é zero, ou seja, . Como estamos analisando , o zero não está dentro desse intervalo. Portanto, essa parte da função também é contínua para todo .

Passo 5

Além de analisar as partes separadas, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde ela muda de definição, que é . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em .
Vamos calcular:
Como , a função tem um salto em e, portanto, não é contínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua em todos os números reais, exceto em e . Ou seja, os intervalos de continuidade são:

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