Determine os intervalos onde cada uma das funções abaixo é contínua.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais intervalos a função
é contínua. Isso está relacionado ao conceito de continuidade nas funções matemáticas. Para isso, vamos analisar cada parte da função e ver onde ela pode ter problemas, como divisões por zero ou pontos onde a função muda de definição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
:
Vamos dividir a análise nas duas partes da função: quando
e quando
.
Passo 3
Para
, temos
. Essa função é uma fração, e ela é contínua em todo lugar onde o denominador não é zero. Então, queremos que
, ou seja,
. Mas como estamos considerando
, e 2 está fora desse intervalo, não precisamos nos preocupar com essa divisão por zero aqui. Assim, essa parte da função é contínua para todo
.
Passo 4
Agora, para
, temos
. Novamente, essa é uma fração, e ela é contínua onde o denominador não é zero, ou seja,
. Como estamos analisando
, o zero não está dentro desse intervalo. Portanto, essa parte da função também é contínua para todo
.
Passo 5
Além de analisar as partes separadas, precisamos verificar se a função é contínua no ponto onde ela muda de definição, que é
. Para a função ser contínua nesse ponto, o limite pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ao valor da função em
.
Vamos calcular:
Como
, a função tem um salto em
e, portanto, não é contínua nesse ponto.
Resposta
A função
é contínua em todos os números reais, exceto em
e
. Ou seja, os intervalos de continuidade são: