Calcule o raio de convergência da série de potências , onde é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola a função é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
h) (DICA: Use a fórmula de Stirling
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o raio de convergência de uma série de potências dada por , onde os coeficientes são . O raio de convergência nos mostra até onde a série “funciona” e a função representada por ela é analítica nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Stirling que aproxima fatoriais, o que é super útil quando lidamos com grandes valores de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências , o raio de convergência pode ser encontrado usando o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos diz que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite usando os termos dados.