Calcule o raio de convergência R da série de potências sumn=0^infty an z^n, onde an é dado nos itens abaixo. Lembre que dentro do raio de convergência, ou seja, na bola B(0, R) a função f(z)=sumn=0^infty an z^n é analítica, portanto séries de potências são uma outra ferramenta útil para construir funções analíticas.
h) an=(n!)^3(3 n)! (DICA: Use a fórmula de Stirling

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o raio de convergência de uma série de potências dada por , onde os coeficientes são . O raio de convergência nos mostra até onde a série “funciona” e a função representada por ela é analítica nesse intervalo. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Stirling que aproxima fatoriais, o que é super útil quando lidamos com grandes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Para uma série de potências 1R = limn to infty | an+1an | , o raio de convergência pode ser encontrado usando o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que nos diz que:
Então, nosso objetivo é calcular esse limite usando os termos dados.

Passo 3

Vamos calcular a razão an+1an = ((n+1)!)^3(3(n+1))!(n!)^3(3n)! = ((n+1)!)^3 cdot (3n)!(n!)^3 cdot (3(n+1))! :
(n+1)! = (n+1) cdot n!
Simplificando os fatoriais:
3(n+1)! = 3n + 3
an+1an = (n+1)^3 cdot (n!)^3 cdot (3n)!(n!)^3 cdot (3n+3)! = (n+1)^3(3n+1)(3n+2)(3n+3)
Então:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
an+1an = (n+1)^3(3n+1)(3n+2)(3n+3)
Dividindo numerador e denominador por (1 + 1n)^3(3 + 1n)(3 + 2n)(3 + 3n) :
limn to infty an+1an = 1^33 cdot 3 cdot 3 = 127
Quando tende ao infinito, os termos com vão para zero, então:

Passo 5

Agora que temos o limite da razão, podemos encontrar o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | = 127 :
R = 27
Portanto:

Resposta

O raio de convergência da série é 27.

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