Usando o ramo principal de z^α calcule 2^(raiz(2)), (5i)^(1+i), 1^i, 1^(-i).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos algumas potências complexas usando o ramo principal de . Isso faz parte da matéria de números complexos e exponenciais complexas. Para resolver, vamos precisar entender como elevar números complexos a potências complexas usando a forma exponencial e o logaritmo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo pode ser escrito na forma polar: , onde é o módulo e é o argumento de . Para elevar a uma potência , usamos a fórmula:
Aqui, é o logaritmo complexo, que na forma do ramo principal é:
onde .

Passo 3

Vamos começar com . Como é um número real positivo, podemos escrever . Aplicando a fórmula:
Então, basta calcular e exponenciar.

Passo 4

Agora, vamos para . Primeiro, escrevemos na forma polar:
Então, aplicamos a fórmula da potência:
Vamos expandir isso e simplificar os termos.

Passo 5

Para , observamos que . Aplicando a fórmula:
Então, .

Passo 6

Finalmente, para , usamos a mesma lógica:
Portanto, .

Resposta

Após os cálculos, temos:

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