Usando o ramo principal de
calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos algumas potências complexas usando o ramo principal de
. Isso faz parte da matéria de números complexos e exponenciais complexas. Para resolver, vamos precisar entender como elevar números complexos a potências complexas usando a forma exponencial e o logaritmo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo
pode ser escrito na forma polar:
, onde
é o módulo e
é o argumento de
. Para elevar
a uma potência
, usamos a fórmula:
Aqui,
é o logaritmo complexo, que na forma do ramo principal é:
onde
.
Passo 3
Vamos começar com
. Como
é um número real positivo, podemos escrever
. Aplicando a fórmula:
Então, basta calcular
e exponenciar.
Passo 4
Agora, vamos para
. Primeiro, escrevemos
na forma polar:
Então, aplicamos a fórmula da potência:
Vamos expandir isso e simplificar os termos.
Passo 5
Para
, observamos que
. Aplicando a fórmula:
Então,
.
Passo 6
Finalmente, para
, usamos a mesma lógica:
Portanto,
.
Resposta
Após os cálculos, temos: