Calcule as integrais abaixo: integral x+1x^3-x^2-3 x+3 d x

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer é calcular a integral de em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar o método de frações parciais, que ajuda a quebrar uma fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar fatorar o denominador . A ideia é encontrar raízes que façam essa expressão igual a zero. Testando valores simples, descobrimos que é uma raiz, então podemos fatorar o denominador como .

Passo 3

Agora, reescrevemos a fração original usando essas fatorações:
x + 1(x - 1)(x^2 - 3) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 - 3
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pelo denominador x + 1 = A(x^2 - 3) + (Bx + C)(x - 1) , ficamos com:
x + 1 = (A + B)x^2 + (-B + C)x + (-3A - C)
Expandindo e organizando os termos, temos:
Isso nos dá um sistema de equações para resolver:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: A + C - 3A - C = 1 + 1 Rightarrow -2A = 2 Rightarrow A = -1
  • Substituindo na segunda:
  • Substituindo na terceira:
Agora, somando as duas últimas equações:
Então, e .

Passo 6

Com os valores encontrados, nossa fração fica:
x + 1(x - 1)(x^2 - 3) = -1x - 1 + x + 2x^2 - 3
Agora, podemos integrar cada parte separadamente.

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral ( -1x - 1 + x + 2x^2 - 3 ) dx = -integral 1x - 1 dx + integral x + 2x^2 - 3 dx
A primeira integral é direta:
-ln|x - 1|

Passo 8

Para a segunda integral, separamos:
integral xx^2 - 3 dx + integral 2x^2 - 3 dx
A primeira parte:
integral xx^2 - 3 dx = 12 ln|x^2 - 3|
A segunda parte utiliza uma fórmula padrão para integrais do tipo integral 2x^2 - 3 dx = 1raiz3 ln|x - raiz3x + raiz3| :

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
-ln|x - 1| + 12 ln|x^2 - 3| + 1raiz3 ln|x - raiz3x + raiz3| + C
onde é a constante de integração.

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