Resolver a seguinte integral imprópria
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral imprópria
. Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função
, e para isso, vamos usar técnicas de integração por partes e identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. A função
é a secante cosseno, ou seja,
. Então,
é
.
Passo 3
Para integrar
, vamos usar uma técnica comum para integrais de potências ímpares de funções trigonométricas. Vamos separar uma potência de
e expressar o resto em termos de cosseno para facilitar a integração. Ou seja:
Passo 4
Agora, sabemos que
pode ser escrita usando a identidade trigonométrica:
Então, substituindo na integral:
Passo 5
Vamos realizar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Substituindo
e
na integral:
Simplificando
, que é
, e considerando que
, temos:
Passo 7
Mas como fizemos a substituição
, precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que:
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, precisamos integrar
. A integral de
é um pouco mais complexa, mas sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 9
Voltando à nossa substituição original
, substituímos de volta:
Simplificando e lembrando que
:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Resposta
Após calcular e simplificar os termos, a integral imprópria
converge para um valor finito. O resultado final é:
Ao avaliar nos limites dados, obtemos o valor da integral.