Resolver a seguinte integral imprópria integralpi2^pi cossec^3(2 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral imprópria . Aqui estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a uma potência. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função , e para isso, vamos usar técnicas de integração por partes e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . A função é a secante cosseno, ou seja, . Então, é .

Passo 3

Para integrar csc^3(2x) = csc(2x) cdot csc^2(2x) , vamos usar uma técnica comum para integrais de potências ímpares de funções trigonométricas. Vamos separar uma potência de e expressar o resto em termos de cosseno para facilitar a integração. Ou seja:

Passo 4

Agora, sabemos que csc^2(2x) = 1 + cot^2(2x) pode ser escrita usando a identidade trigonométrica:
integral csc^3(2x) , dx = integral csc(2x) (1 + cot^2(2x)) , dx
Então, substituindo na integral:

Passo 5

Vamos realizar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = -2 csc^2(2x) , dx Rightarrow dx = -12 csc^-2(2x) , du . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 6

Substituindo integral csc(2x) (1 + u^2) cdot (-12 csc^-2(2x)) , du = -12 integral csc^-1(2x) (1 + u^2) , du e -12 integral (1 + u^2) sin(2x) , du na integral:
Simplificando , que é , e considerando que , temos:

Passo 7

Mas como fizemos a substituição cot(2x) = u Rightarrow sin(2x) = 1raiz1 + u^2 , precisamos expressar -12 integral 1 + u^2raiz1 + u^2 , du = -12 integral raiz1 + u^2 , du em termos de . Sabemos que:
Substituindo na integral:

Passo 8

Agora, precisamos integrar integral raiz1 + u^2 , du = u2 raiz1 + u^2 + 12 sinh^-1(u) + C . A integral de é um pouco mais complexa, mas sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 9

Voltando à nossa substituição original -12 ( cot(2x)2 raiz1 + cot^2(2x) + 12 sinh^-1(cot(2x)) ) + C , substituímos de volta:
-14 cot(2x) csc(2x) - 14 sinh^-1(cot(2x)) + C
Simplificando e lembrando que :

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração de [ -14 cot(2x) csc(2x) - 14 sinh^-1(cot(2x)) ]pi2^pi a cot(2pi) = cot(0) = infty e csc(2pi) = csc(0) = infty :
cot(pi) = cot(0) = infty e csc(pi) = csc(0) = infty
Calculando cada parte:
Para :
Para :

Resposta

Após calcular e simplificar os termos, a integral imprópria -14 cot(2x) csc(2x) g|pi2^pi - 14 sinh^-1(cot(2x)) g|pi2^pi converge para um valor finito. O resultado final é:
Ao avaliar nos limites dados, obtemos o valor da integral.

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