[ ] Uma edo de primeira ordem separável pode ser linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta é: “Uma EDO de primeira ordem separável pode ser linear?” Isso significa que queremos saber se uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é separável também pode ser classificada como linear. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma EDO separável e uma EDO linear, e ver se elas podem coincidir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre EDOs separáveis. Uma equação é separável se conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Geralmente, ela pode ser escrita assim:
Aqui, é uma função só de e é uma função só de . A ideia é que a gente consegue rearranjar e integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é uma EDO linear de primeira ordem. Ela tem a forma geral:
Nessa equação, e são funções que dependem apenas de . A linearidade vem do fato de que aparece apenas de forma linear, ou seja, sem potências ou funções complicadas.

Passo 4

Para descobrir se uma EDO separável pode ser linear, vamos tentar transformar a forma separável na forma linear e ver se dá certo. Vamos pegar a equação separável:
E tentar manipulá-la para ficar na forma da EDO linear.

Passo 5

Rearranjando a equação separável, temos:
Para que essa equação seja linear, ela precisa se encaixar na forma:
Isso significa que a parte que multiplica na equação linear deve depender apenas de .

Passo 6

Vamos supor que seja uma função linear de , ou seja, , onde é uma constante. Substituindo na equação, temos:
Rearranjando para se parecer com a forma linear:
Agora ela está na forma de uma EDO linear de primeira ordem, onde e .

Passo 7

Então, se a função na equação separável for uma função linear de (como ), a equação vai ser tanto separável quanto linear. Mas se for uma função não linear, essa propriedade dupla não acontece.

Resposta

Sim, uma EDO de primeira ordem separável pode ser linear se a função envolvendo for linear, ou seja, se puder ser escrita na forma .

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