Seja F(x, y)=(3 x^2+y^2, 2 x y) e seja C a curva dada pelo semicírculo inferior x^2+y^2=4 ligando os pontos (-2,0) até (2,0).
Calcule integralC F cdot d r usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha ao longo da curva , que é o semicírculo inferior da circunferência , indo do ponto até . Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos ajuda a simplificar a integral se o campo for conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo partial F1partial y = partialpartial y(3x^2 + y^2) = 2y é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial partial F2partial x = partialpartial x(2xy) = 2y . Para isso, precisamos que as derivadas parciais satisfaçam .
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que partial phipartial x = 3x^2 + y^2 é conservativo, podemos encontrar a função potencial partial phipartial y = 2xy tal que phi(x, y) = integral (3x^2 + y^2) , dx = x^3 + y^2x + h(y) . Isso significa que:
partial phipartial y = 2yx + h'(y) = 2xy
phi(x, y) = x^3 + y^2x
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos considerar como zero. Portanto, a função potencial é:

Passo 4

Com a função potencial integralC F cdot dr = phi(2, 0) - phi(-2, 0) em mãos, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Esse teorema nos diz que:
Agora, vamos calcular nos pontos finais da curva .

Passo 5

Calculando phi(2, 0) = (2)^3 + (0)^2(2) = 8 + 0 = 8 :
phi(-2, 0) = (-2)^3 + (0)^2(-2) = -8 + 0 = -8
Calculando :

Resposta

A integral de linha é:
integralC F cdot dr = 8 - (-8) = 16

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