Seja
e seja
a curva dada pelo semicírculo inferior
ligando os pontos
até
.
Calcule
usando o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
ao longo da curva
, que é o semicírculo inferior da circunferência
, indo do ponto
até
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha, que nos ajuda a simplificar a integral se o campo for conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele é o gradiente de alguma função potencial
. Para isso, precisamos que as derivadas parciais satisfaçam
.
Vamos calcular:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, podemos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos considerar como zero. Portanto, a função potencial é:
Passo 4
Com a função potencial
em mãos, podemos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para Integrais de Linha. Esse teorema nos diz que:
Agora, vamos calcular
nos pontos finais da curva
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha é: