Calcule uma das integrais abaixo
$ \int \frac{2 \mathrm{x}+3}{1+x^{2}} d x$

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral2x+31+x^2,dx. O conteúdo envolvido é integração de frações racionais simples, usando decomposição em duas parcelas e conhecendo as integrais de u'u e de 11+x^2.

Passo 2

Vamos separar o integrando em duas frações mais simples:
2x+31+x^2 = 2x1+x^2 + 31+x^2

Passo 3

Agora dividimos a integral em duas partes:
integral2x+31+x^2,dx = integral2x1+x^2,dx + integral31+x^2,dx

Passo 4

Para integral2x1+x^2,dx, fazemos a substituição u=1+x^2, logo du=2x,dx. Assim:
integral2x1+x^2,dx = integralduu = ln|u| + C = ln(1+x^2) + C

Passo 5

Para integral31+x^2,dx, fatoramos o 3 e usamos que ddx(arctan x)=11+x^2:
integral31+x^2,dx = 3integral11+x^2,dx = 3arctan(x) + C

Passo 6

Somando as duas partes (absorvendo constantes em uma só), obtemos a resposta final.

Resposta

ln(1+x^2) + 3arctan(x) + C

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