Estude a continuidade da função dada abaixo nos pontos e .
Passo 1
O exercício pede para estudar a continuidade da função f nos pontos x=1 e x=2. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes: precisamos comparar o limite à esquerda, o valor da função e o limite à direita em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as expressões dos ramos onde dá para cancelar fatores:
Para x<1:
f(x)=x^2-1x^2+x-2=(x-1)(x+1)(x+2)(x-1)=x+1x+2
Para x>2: note que x^2-4=(x-2)(x+2) e x^2-3x+2=(x-1)(x-2), logo f(x)=expl((x-2)(x+2)(x-1)(x-2)r)=expl(x+2x-1r)
Passo 3
Em x=1:
Limite à esquerda: limxto1^-f(x)=limxto1^-x+1x+2=23
Valor da função: f(1)=-1^3+1-2=-2
Limite à direita: para x>1 na faixa [1,2], a expressão é polinomial, então limxto1^+f(x)=-1^3+1-2=-2
Como 2/3neq-2, a função é descontínua em x=1.
Passo 4
Em x=2:
Limite à esquerda: na faixa [1,2], limxto2^-f(x)=-2^3+2-2=-8
Valor da função: f(2)=-8
Limite à direita: limxto2^+f(x)=expl((2+2)/(2-1)r)=e^4
Como -8neq e^4, a função é descontínua em x=2.
Resposta
A função é descontínua em ambos os pontos x=1 e x=2.