1. Estude a continuidade da função f dada abaixo nos pontos x=1 e x=2.
    ccx^2-1x^2+x-2 & se x<1 -x^3+x-2 & se 1 <= x <= 2 exp (x^2-4x^2-3 x+2) & se x>2

Passo 1

O exercício pede para estudar a continuidade da função f nos pontos x=1 e x=2. O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes: precisamos comparar o limite à esquerda, o valor da função e o limite à direita em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as expressões dos ramos onde dá para cancelar fatores:
Para x<1:
f(x)=x^2-1x^2+x-2=(x-1)(x+1)(x+2)(x-1)=x+1x+2
Para x>2: note que x^2-4=(x-2)(x+2) e x^2-3x+2=(x-1)(x-2), logo
f(x)=expl((x-2)(x+2)(x-1)(x-2)r)=expl(x+2x-1r)

Passo 3

Em x=1:
  • Limite à esquerda: limxto1^-f(x)=limxto1^-x+1x+2=23
  • Valor da função: f(1)=-1^3+1-2=-2
  • Limite à direita: para x>1 na faixa [1,2], a expressão é polinomial, então
    limxto1^+f(x)=-1^3+1-2=-2
    Como 2/3neq-2, a função é descontínua em x=1.

Passo 4

Em x=2:
  • Limite à esquerda: na faixa [1,2],
    limxto2^-f(x)=-2^3+2-2=-8
  • Valor da função: f(2)=-8
  • Limite à direita: limxto2^+f(x)=expl((2+2)/(2-1)r)=e^4
    Como -8neq e^4, a função é descontínua em x=2.

Resposta

A função é descontínua em ambos os pontos x=1 e x=2.

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