(1,5 pontos) Calcule a integral integral 2 x+2(x-1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2x+2(x-1)^2,dx. Isso cai em integração de funções racionais, onde a gente costuma reescrever o numerador para separar em termos que sejam fáceis de integrar.

Passo 2

A gente observa que dá para escrever o numerador 2x+2 como 2(x-1)+4, porque
2(x-1)+4 = 2x - 2 + 4 = 2x + 2

Passo 3

Substituindo na integral, fica
integral 2x+2(x-1)^2,dx = integral 2(x-1)+4(x-1)^2,dx = integral l(2(x-1)(x-1)^2 + 4(x-1)^2r)dx

Passo 4

Simplificando cada parcela:
2(x-1)(x-1)^2 = 2x-1,
4(x-1)^2 = 4,(x-1)^-2
Logo a integral vira
integral 2x-1,dx + integral 4,(x-1)^-2,dx

Passo 5

Agora aplicamos as regras básicas:
  • integral (x-1)^-1,dx = ln|x-1| + C.
  • integral (x-1)^-2,dx = integral (x-1)^-2,d(x-1) = -(x-1)^-1 + C = -1x-1 + C.
Então
integral 2x-1,dx = 2ln|x-1|,
integral 4,(x-1)^-2,dx = 4l(-1x-1r) = -4x-1

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, a integral final é
2ln|x-1| - 4x-1 + C

Resposta

2\ln|x-1| - \frac{4}{x-1} + C

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