Calcule as integrais:
integralegral duplaD x y raizx^2+y^2 d A, D=(x, y) ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 4

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaD x,yraizx^2+y^2,dA, onde D=(x,y)mid 0<= x<=1, 0<= y<=4. O conteúdo envolve integrais múltiplas e vamos usar mudança de variável para resolver as integrais em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada, aproveitando que D é um retângulo:
integral duplaD x,yraizx^2+y^2,dA = integralx=0^1 integraly=0^4 x,yraizx^2+y^2,dy,dx

Passo 3

No integral interno em y, tiramos x como constante:
integral0^4 x,yraizx^2+y^2,dy = x integral0^4 yraizx^2+y^2,dy
Para calcular integral yraizx^2+y^2,dy, fazemos u = x^2+y^2, du = 2y,dy, ou y,dy = du/2, com limites u(0)=x^2 e u(4)=x^2+16.

Passo 4

Aplicando a substituição,
integral0^4 yraizx^2+y^2,dy = 12 integralu=x^2^x^2+16 u^1/2,du = 13l[(x^2+16)^3/2 - (x^2)^3/2r]
Logo o interno fica
xcdot 13l[(x^2+16)^3/2 - x^3r] = x3l[(x^2+16)^3/2 - x^3r]

Passo 5

Substituindo no integral externo,
integral duplaD = integral0^1 x3l[(x^2+16)^3/2 - x^3r] ,dx = 13 integral0^1 l[x(x^2+16)^3/2 - x^4r] ,dx
Separamos em
I1=integral0^1 x(x^2+16)^3/2,dx e I2=integral0^1 x^4,dx.

Passo 6

O cálculo de I2 é direto:
I2 = integral0^1 x^4,dx = l[tfracx^55r]0^1 = tfrac15
Para I1 usamos t = x^2+16, dt = 2x,dx, com limites t(0)=16, t(1)=17.

Passo 7

Portanto
I1 = integral0^1 x(x^2+16)^3/2,dx = tfrac12 integral16^17 t^3/2,dt = tfrac15l[t^5/2r]16^17 = tfrac15l(17^5/2 - 16^5/2r)

Passo 8

Voltando ao valor total,
integral duplaD = 13l(I1 - I2r) = 13l(tfrac15(17^5/2-16^5/2) - tfrac15r) = 115l(17^5/2 - 16^5/2 - 1r)
Como 16^5/2 = (raiz16)^5 = 4^5 = 1024, reescrevemos
115l(17^5/2 - 1025r)

Passo 9

Este é o resultado antes de simplificar em termos de raiz17.

Resposta

289raiz17-102515

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