Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens.
(Valor: 1,5) \int \frac{x-8}{x^{3}-4 x^{2}+4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x - 8}{x^{3} - 4x^{2} + 4x}\,dx.
Isso é uma integral de função racional. Vamos precisar fatorar o denominador, aplicar decomposição em frações parciais e depois integrar termo a termo usando as fórmulas básicas \int x^{-1}dx = \ln|x| e \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1) (quando n\neq -1).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3} - 4x^{2} + 4x = x\bigl(x^{2} - 4x + 4\bigr) = x(x - 2)^{2}.

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x - 8}{x(x-2)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^{2}}.
Multiplicando por x(x-2)^{2}, obtemos
x - 8 = A\,(x-2)^{2} + B\,x(x-2) + C\,x.

Passo 4

Expandimos o lado direito e comparamos coeficientes com x - 8 = 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + (-8)\): Expansão: \[A(x^{2} - 4x + 4) + B(x^{2} - 2x) + Cx = (A + B)\,x^{2} + (-4A - 2B + C)\,x + 4A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -\,4A - 2B + C = 1,\\\\ 4A = -8. \end{cases}
Da terceira equação vem A = -2\]. Então \(B = -A = 2 e
C = 1 + 4A + 2B = 1 + 4(-2) + 2(2) = 1 - 8 + 4 = -3.

Passo 5

Substituindo A, B e C na integral:
\int \frac{x - 8}{x(x-2)^{2}}\,dx = \int \Bigl(-\frac{2}{x} + \frac{2}{x-2} - \frac{3}{(x-2)^{2}}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln|x|,\quad \int \frac{2}{x-2}\,dx = 2\ln|x-2|,\quad \int -\frac{3}{(x-2)^{2}}\,dx = -3 \int (x-2)^{-2}dx = -3\bigl(-(x-2)^{-1}\bigr) = \frac{3}{x-2}.

Resposta

\int \frac{x - 8}{x^{3} - 4x^{2} + 4x}\,dx = -2\ln|x| + 2\ln|x-2| + \frac{3}{x-2} + C.

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