Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens.
(Valor: 1,0) \int(x+3) \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (x+3)\operatorname{sec}^2(x)\,dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, além de saber que
\frac{d}{dx}\bigl(\tan(x)\bigr)=\operatorname{sec}^2(x).

Passo 2

Para usar integração por partes, escolhemos
u = x+3, \qquad dv = \operatorname{sec}^2(x)\,dx.
Assim, u é uma função polinomial (fácil de derivar) e dv é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos du e v:
du = d(x+3) = dx, \qquad v = \int \operatorname{sec}^2(x)\,dx = \tan(x).

Passo 4

A fórmula de integração por partes diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.
Aplicando:
\int (x+3)\operatorname{sec}^2(x)\,dx = (x+3)\tan(x) - \int \tan(x)\,dx.

Passo 5

Falta agora calcular \int \tan(x)\,dx. Lembrando que \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} e sua integral padrão é
\int \tan(x)\,dx = -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Passo 6

Substituindo esse resultado de volta:
\int (x+3)\operatorname{sec}^2(x)\,dx = (x+3)\tan(x) -\Bigl(-\ln\bigl|\cos(x)\bigr|\Bigr) + C = (x+3)\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

Resposta

(x+3)\tan(x) + \ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C.

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