Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens.
(Valor: 1,5) \int \operatorname{sen}^{5}(x) \cos ^{6}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\,\cos^{6}(x)\,dx
O conteúdo envolvido é a integração de potências ímpares de seno (ou cosseno), usando a identidade pitagórica e substituição simples.

Passo 2

Como a potência de \operatorname{sen}(x) é ímpar, isolamos um fator \operatorname{sen}(x) e escrevemos o resto em termos de \cos(x) via \operatorname{sen}^{2}(x)=1-\cos^{2}(x):
\operatorname{sen}^{5}(x)\,\cos^{6}(x) =\bigl(\operatorname{sen}^{4}(x)\bigr)\,\operatorname{sen}(x)\,\cos^{6}(x) =\bigl(\operatorname{sen}^{2}(x)\bigr)^{2}\,\operatorname{sen}(x)\,\cos^{6}(x) =\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)^{2}\,\operatorname{sen}(x)\,\cos^{6}(x).

Passo 3

Fazemos a substituição
u=\cos(x), \quad du=-\operatorname{sen}(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(x)\,dx=-du.
Assim a integral vira
\int \operatorname{sen}^{5}(x)\,\cos^{6}(x)\,dx =\int \bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}\,u^{6}\,(-du) =-\int \bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}u^{6}\,du.

Passo 4

Expandimos o polinômio dentro da integral:
\bigl(1-u^{2}\bigr)^{2}u^{6} =u^{6}\bigl(1-2u^{2}+u^{4}\bigr) =u^{6}-2u^{8}+u^{10}.
Logo
-\int \bigl(u^{6}-2u^{8}+u^{10}\bigr)\,du =-\int u^{6}\,du +2\int u^{8}\,du -\int u^{10}\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int u^{6}\,du=\frac{u^{7}}{7}, \quad \int u^{8}\,du=\frac{u^{9}}{9}, \quad \int u^{10}\,du=\frac{u^{11}}{11}.
Portanto
-\int \bigl(u^{6}-2u^{8}+u^{10}\bigr)\,du =-\Bigl(\frac{u^{7}}{7}-2\frac{u^{9}}{9}+\frac{u^{11}}{11}\Bigr)+C.

Passo 6

Voltando a x com u=\cos(x), obtemos
-\frac{\cos^{7}(x)}{7} +2\,\frac{\cos^{9}(x)}{9} -\frac{\cos^{11}(x)}{11} + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^{5}(x)\,\cos^{6}(x)\,dx =-\frac{\cos^{7}(x)}{7} +\frac{2\,\cos^{9}(x)}{9} -\frac{\cos^{11}(x)}{11} + C }

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