Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens.
(Valor: 1,0) \int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx
Esse problema envolve duas técnicas clássicas de cálculo de integrais:
  1. Separar a integral em duas mais simples.
  2. Usar substituição para integrar termos do tipo \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}.
  3. Reconhecer a forma padrão de \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx.

Passo 2

Vamos escrever
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx =\int \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx +\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx.

Passo 3

Para
\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx,
faço a substituição
u = 4 - x^2 \quad\Longrightarrow\quad du = -2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.
Então
\int \frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx =\int \frac{-\frac12\,du}{\sqrt{u}} =-\frac12\int u^{-\tfrac12}\,du =-\frac12\cdot 2\,u^{\tfrac12} =-\sqrt{u} =-\sqrt{4-x^2}.

Passo 4

Para
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx,
reconhecemos a forma padrão
\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\!\bigl(\frac{x}{a}\bigr)+C
com a=2. Logo
\int \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx =\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 5

Somando os dois resultados e incluindo a constante de integração C, temos
\int \frac{x+1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx =-\sqrt{4-x^2} + \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C.

Resposta

-\sqrt{4-x^2} + \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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