Calcule as integrais abaixo justificando todas as passagens.
(Valor: 1,0) \int 8 x \sqrt{4 x^{2}-8} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 8x\sqrt{4x^{2}-8}\,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, pois há um produto de uma função e da sua derivada aparente.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x^{2}-8.
Então, derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 8x\,dx
ou seja,
8x\,dx = du.
Com isso, a integral em x se transforma numa integral em u.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int 8x\sqrt{4x^{2}-8}\,dx = \int \sqrt{u}\,du = \int u^{\tfrac12}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência para integrais:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 4

Voltando à variável x pela substituição u=4x^{2}-8, a primitiva fica
\frac{2}{3}\bigl(4x^{2}-8\bigr)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\int 8x\sqrt{4x^{2}-8}\,dx = \frac{2}{3}\bigl(4x^{2}-8\bigr)^{\tfrac32} + C.

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