Calcule as integrais:
(a)
\int x^{2} \sqrt{2+x} d x
(b)
\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede duas integrais:
– (a) a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx, que vamos resolver por substituição.
– (b) a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1}x\,e^{-2x}\,dx, que vamos resolver por partes.

Passo 2

Para a parte (a), fazemos a substituição
\displaystyle u = x+2, logo \displaystyle x = u-2 e \displaystyle dx = du.
Assim
x^{2} = (u-2)^{2} = u^{2} - 4u + 4, \qquad \sqrt{2+x} = \sqrt{u} = u^{1/2}.
Logo
\int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx = \int (u-2)^{2}u^{1/2}\,du = \int \bigl(u^{5/2}-4u^{3/2}+4u^{1/2}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos termo a termo usando \displaystyle \int u^{n}du = u^{n+1}/(n+1):
\int u^{5/2}du = \frac{2}{7}u^{7/2},\quad \int u^{3/2}du = \frac{2}{5}u^{5/2},\quad \int u^{1/2}du = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\int x^{2}\sqrt{2+x}\,dx = \frac{2}{7}u^{7/2} -4\cdot\frac{2}{5}u^{5/2} +4\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{7}(x+2)^{7/2} - \frac{8}{5}(x+2)^{5/2} + \frac{8}{3}(x+2)^{3/2} + C.

Passo 4

Para a parte (b), aplicamos integração por partes em \displaystyle \int x\,e^{-2x}dx.
Escolhemos \displaystyle u = x e \displaystyle dv = e^{-2x}dx.
Então \displaystyle du = dx e
v = \int e^{-2x}dx = -\frac12e^{-2x}.
A fórmula de partes dá
\int x\,e^{-2x}dx = uv - \int v\,du = -\frac12\,x\,e^{-2x} - \int\Bigl(-\frac12e^{-2x}\Bigr)dx = -\frac12x\,e^{-2x} + \frac12\int e^{-2x}dx.

Passo 5

Ainda na parte (b), calculamos
\displaystyle \int e^{-2x}dx = -\tfrac12e^{-2x}.
Logo um antiderivado é
-\frac12x\,e^{-2x} - \frac14e^{-2x}.
Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x\,e^{-2x}dx =\Bigl[-\tfrac12x\,e^{-2x}-\tfrac14e^{-2x}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(-\tfrac12-\tfrac14\Bigr)e^{-2}-\Bigl(0-\tfrac14\Bigr) =-\tfrac34e^{-2}+\tfrac14 =\tfrac14 - \tfrac34e^{-2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{2}{7}(x+2)^{7/2} \;-\;\frac{8}{5}(x+2)^{5/2}\;+\;\frac{8}{3}(x+2)^{3/2}+C.
(b) \displaystyle \frac14 \;-\;\frac34e^{-2}.

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