Calcule as Integrais abaixo, pelo métode de Integração de Potências de Seno e Cosseno.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos x \sin ^{4} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/2} \cos x \,\sin^{4}x \,dx
usando o método de potências de seno e cosseno. Vamos aproveitar que há um fator \cos x\,dx, que é a derivada de \sin x, e fazer uma substituição simples.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável
u = \sin x, \quad du = \cos x \,dx,
os limites mudam de x=0\to u=0 e de x=\pi/2\to u=1.

Passo 3

Com isso a integral em x vira uma integral em u:
\int_{0}^{\pi/2} \cos x \,\sin^{4}x \,dx = \int_{0}^{1} u^{4}\,du.

Passo 4

A função u^{4} tem antiderivada \tfrac{u^{5}}{5}, logo
\int_{0}^{1} u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{5}

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