Calcule as Integrais abaixo, pelo métode de Integração de Potências de Tangente e Secante:
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{6} x \operatorname{sec} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{6}x\,\operatorname{sec} x\,dx
usando técnicas de potências de tangente e secante. Vamos precisar usar substituições para reduzir a integral a uma forma que dê para integrar exponenciais ou hiperbolicamente.

Passo 2

Observe que \operatorname{sec} x é ímpar e aparece de primeira potência, então guardamos o fator \tan x\operatorname{sec} x\,dx para uma substituição. Escrevemos
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{6}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\int_{0}^{\pi/4}\tan^{5}x\bigl(\tan x\operatorname{sec} x\,dx\bigr).
Fazendo u=\operatorname{sec} x, temos du=\operatorname{sec} x\tan x\,dx. Como \tan^{2}x=u^{2}-1, fica
\tan^{5}x=(\tan^{2}x)^{2}\,\tan x=(u^{2}-1)^{2}\,\tan x \quad\text{e}\quad \tan x=\sqrt{u^{2}-1}\quad(x\in[0,\pi/4]),
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\int\tan^{6}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\int(u^{2}-1)^{2}\sqrt{u^{2}-1}\;du =\int (u^{2}-1)^{5/2}\,du.
Os limites mudam: quando x=0, u=\sec0=1; quando x=\pi/4, u=\operatorname{sec}(\pi/4)=\sqrt{2}. Assim,
\int_{0}^{\pi/4}\tan^{6}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\int_{1}^{\sqrt2}(u^{2}-1)^{5/2}\,du.

Passo 3

Para tratar (u^{2}-1)^{5/2}, usamos a substituição hiperbólica
u=\operatorname{cosh} t,\quad du=\operatorname{sinh} t\,dt,
pois então u^{2}-1=\operatorname{sinh}^{2}t e \sqrt{u^{2}-1}=\operatorname{sinh} t. Os limites viram: \operatorname{cosh} t=1\implies t=0 e \operatorname{cosh} t=\sqrt2\implies t=\operatorname{arccosh}(\sqrt2)=\ln(1+\sqrt2). A integral torna-se
\int_{0}^{\ln(1+\sqrt2)}\bigl(\operatorname{sinh}^{2}t\bigr)^{5/2}\operatorname{sinh} t\,dt =\int_{0}^{\ln(1+\sqrt2)}\operatorname{sinh}^{6}t\,dt.

Passo 4

Agora expandimos \operatorname{sinh}^{6}t pela definição exponencial:
\operatorname{sinh} t=\frac{e^{t}-e^{-t}}{2} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sinh}^{6}t =\frac{1}{64}\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k}(-1)^{k}e^{(6-2k)t}.
Isso dá
\operatorname{sinh}^{6}t =\frac{1}{64}\bigl(e^{6t}-6e^{4t}+15e^{2t}-20+15e^{-2t}-6e^{-4t}+e^{-6t}\bigr).
Integramos termo a termo de t=0 a t=\ln(1+\sqrt2).

Passo 5

Cada parte do tipo \int_{0}^{L}e^{at}dt vale \bigl(e^{aL}-1\bigr)/a. Somando tudo e simplificando (usando e^{L}=1+\sqrt2 e e^{-L}=\sqrt2-1), chega-se a
\int_{0}^{\ln(1+\sqrt2)}\operatorname{sinh}^{6}t\,dt =\frac{13\sqrt2}{48}-\frac{5}{16}\,\ln\bigl(1+\sqrt2\bigr).

Resposta

\boxed{\int_{0}^{\pi/4}\tan^{6}x\,\operatorname{sec} x\,dx =\frac{13\sqrt2}{48} -\frac{5}{16}\,\ln\bigl(1+\sqrt2\bigr).}

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