Calcule as Integrais abaixo, pelo métode de Integração de Potências de Tangente e Secante:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando técnicas de potências de tangente e secante. Vamos precisar usar substituições para reduzir a integral a uma forma que dê para integrar exponenciais ou hiperbolicamente.
Passo 2
Observe que
é ímpar e aparece de primeira potência, então guardamos o fator
para uma substituição. Escrevemos
Fazendo
, temos
. Como
, fica
logo
Os limites mudam: quando
,
; quando
,
. Assim,
Passo 3
Para tratar
, usamos a substituição hiperbólica
pois então
e
. Os limites viram:
e
. A integral torna-se
Passo 4
Agora expandimos
pela definição exponencial:
Isso dá
Integramos termo a termo de
a
.
Passo 5
Cada parte do tipo
vale
. Somando tudo e simplificando (usando
e
), chega-se a