Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A expressão a integrar é
. - A variável de integração é
. - Devemos encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - O enunciado pede para usar o método da substituição simples.
Passo 2
Ideia do método da substituição simples (explicação didática):
- Procuramos uma parte da função que esteja “dentro” de outra (uma composição), de modo que a sua derivada apareça multiplicando-a. Isso permite trocar a variável
por uma nova variável e transformar a integral numa integral mais simples. - Aqui vemos
. A função interior natural para testar é , pois sua derivada envolve , que aparece multiplicando a raiz. Vamos tentar a substituição .
Passo 3
Fazendo a substituição:
Calcule o diferencial
. Pela regra da derivação,
portanto
Agora substituímos na integral original:
Passo 4
Integrando
(explicação da regra usada):
- Usamos a regra de potência para integrais: para
,
- No entanto temos
que é uma função compost a; uma maneira simples é fazer a substituição auxiliar , assim . Então
- Aplicando a regra de potência com
:
- Então
- Não esqueça do fator
que estava fora da integral. Multiplicando:
Passo 5
Volta à variável
(substituição inversa) e verificação rápida:
- Substituindo
na expressão obtida temos uma primitiva
- Verificação (rápida): ao derivar
aplica-se a regra da cadeia. A derivada de é . Multiplicando pelos fatores isso resulta em , que é exatamente o integrando. Logo confere.