Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \cos 2 x \sqrt{4-\sin 2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos 2x \sqrt{4-\sin 2x}\,dx.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A expressão a integrar é \cos 2x \sqrt{4-\sin 2x}.
  • A variável de integração é x.
  • Devemos encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\cos 2x \sqrt{4-\sin 2x}.
  • O enunciado pede para usar o método da substituição simples.

Passo 2

Ideia do método da substituição simples (explicação didática):
  • Procuramos uma parte da função que esteja “dentro” de outra (uma composição), de modo que a sua derivada apareça multiplicando-a. Isso permite trocar a variável x por uma nova variável u e transformar a integral numa integral mais simples.
  • Aqui vemos \sqrt{4-\sin 2x}. A função interior natural para testar é \sin 2x, pois sua derivada envolve \cos 2x, que aparece multiplicando a raiz. Vamos tentar a substituição u=\sin 2x.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u=\sin 2x.
Calcule o diferencial du. Pela regra da derivação,
\frac{d}{dx}(\sin 2x)=2\cos 2x,
portanto
du=2\cos 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad \cos 2x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Agora substituímos na integral original:
\int \cos 2x \sqrt{4-\sin 2x}\,dx = \int \sqrt{4-u}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int (4-u)^{1/2}\,du.

Passo 4

Integrando \dfrac{1}{2}\int (4-u)^{1/2}\,du (explicação da regra usada):
  • Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int t^n\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
  • No entanto temos (4-u)^{1/2} que é uma função compost a; uma maneira simples é fazer a substituição auxiliar v=4-u, assim dv=-du. Então
\int (4-u)^{1/2}\,du = -\int v^{1/2}\,dv.
  • Aplicando a regra de potência com n=\tfrac{1}{2}:
\int v^{1/2}\,dv=\frac{v^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}v^{3/2}.
  • Então
\int (4-u)^{1/2}\,du = -\frac{2}{3}v^{3/2} + C = -\frac{2}{3}(4-u)^{3/2}+C.
  • Não esqueça do fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral. Multiplicando:
\frac{1}{2}\int (4-u)^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}(4-u)^{3/2}\right)+C = -\frac{1}{3}(4-u)^{3/2}+C.

Passo 5

Volta à variável x (substituição inversa) e verificação rápida:
  • Substituindo u=\sin 2x na expressão obtida temos uma primitiva
F(x)=-\frac{1}{3}\bigl(4-\sin 2x\bigr)^{3/2}+C.
  • Verificação (rápida): ao derivar F(x) aplica-se a regra da cadeia. A derivada de (4-\sin 2x)^{3/2} é \tfrac{3}{2}(4-\sin 2x)^{1/2}\cdot(-2\cos 2x). Multiplicando pelos fatores -\tfrac{1}{3} isso resulta em \cos 2x\,(4-\sin 2x)^{1/2}, que é exatamente o integrando. Logo F'(x) confere.

Resposta

-\frac{1}{3}\bigl(4-\sin 2x\bigr)^{3/2}+C

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