Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int(\operatorname{tg}(3 x)+\operatorname{cotg}(3 x))^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int (\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x))^{2}\,dx.
Informações dadas: a integranda é a função (\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x))^{2} onde \operatorname{tg} é a tangente e \operatorname{cotg} é a cotangente, e queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) em função de x. Não há outras condições (constante de integração C será adicionada no final).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro do quadrado usando identidades trigonométricas básicas. Escrevendo em termos de seno e cosseno:
\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x)=\frac{\sin(3x)}{\cos(3x)}+\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}.
Agora somamos as frações com denominador comum \sin(3x)\cos(3x):
\frac{\sin^{2}(3x)+\cos^{2}(3x)}{\sin(3x)\cos(3x)}.
Usamos a identidade pitagórica \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1, então:
\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x)=\frac{1}{\sin(3x)\cos(3x)}.

Passo 3

Usamos agora a identidade do seno do ângulo duplo \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Tomando \theta=3x obtemos
\sin(6x)=2\sin(3x)\cos(3x)\quad\Rightarrow\quad \sin(3x)\cos(3x)=\frac{\sin(6x)}{2}.
Substituindo na expressão anterior:
\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x)=\frac{1}{\sin(3x)\cos(3x)}=\frac{2}{\sin(6x)}.
Portanto o integrando fica
(\operatorname{tg}(3x)+\operatorname{cotg}(3x))^{2}=\left(\frac{2}{\sin(6x)}\right)^{2}=\frac{4}{\sin^{2}(6x)}=4\csc^{2}(6x).

Passo 4

A integral original reduz-se a
\int 4\csc^{2}(6x)\,dx.
Aqui usamos a técnica da substituição simples porque há uma função composta \csc^{2}(6x) com a parte interna 6x. Tomamos a substituição
u=6x\quad\Rightarrow\quad du=6\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{6}.
Substituindo na integral:
\int 4\csc^{2}(6x)\,dx = \int 4\csc^{2}(u)\cdot\frac{du}{6}=\frac{4}{6}\int \csc^{2}(u)\,du=\frac{2}{3}\int \csc^{2}(u)\,du.
Agora lembramos a primitiva conhecida: a derivada de \cot u é -\csc^{2}u, portanto
\int \csc^{2}u\,du=-\cot u + C.
Aplicando isso:
\frac{2}{3}\int \csc^{2}u\,du=\frac{2}{3}\bigl(-\cot u\bigr)+C=-\frac{2}{3}\cot u + C.
Voltando à variável x (substituindo u=6x):
-\frac{2}{3}\cot(6x)+C.

Passo 5

Checagem rápida por diferenciação (para ter segurança): derivando -\dfrac{2}{3}\cot(6x) temos
\frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cot(6x)\right)=-\frac{2}{3}\cdot\bigl(-\csc^{2}(6x)\bigr)\cdot 6 = 4\csc^{2}(6x),
que é exatamente o integrando que obtivemos no Passo 3. Logo a primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{2}{3}\cot(6x)+C

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