Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é a função
onde
é a tangente e
é a cotangente, e queremos uma primitiva (ou seja, a integral indefinida) em função de
. Não há outras condições (constante de integração
será adicionada no final).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro do quadrado usando identidades trigonométricas básicas. Escrevendo em termos de seno e cosseno:
Agora somamos as frações com denominador comum
:
Usamos a identidade pitagórica
, então:
Passo 3
Usamos agora a identidade do seno do ângulo duplo
. Tomando
obtemos
Substituindo na expressão anterior:
Portanto o integrando fica
Passo 4
A integral original reduz-se a
Aqui usamos a técnica da substituição simples porque há uma função composta
com a parte interna
. Tomamos a substituição
Substituindo na integral:
Agora lembramos a primitiva conhecida: a derivada de
é
, portanto
Aplicando isso:
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 5
Checagem rápida por diferenciação (para ter segurança): derivando
temos
que é exatamente o integrando que obtivemos no Passo 3. Logo a primitiva está correta.