Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
\int \frac{x}{\sqrt{2-3 x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{2-3x}}\,dx
e especifica que devemos usar o método da substituição simples. As informações relevantes são: o integrando é \dfrac{x}{\sqrt{2-3x}} e a variável de integração é x. Não há outros dados ou condições.

Passo 2

Escolhemos uma substituição para eliminar a raiz e transformar a integral num polinômio em potências de uma única variável. Observando a expressão dentro da raiz, uma escolha natural é
u = 2-3x.
Agora vamos relacionar du com dx. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = -3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = -\frac{1}{3}\,du.
Também precisamos escrever x em função de u. Isolando x em u=2-3x,
x = \frac{2-u}{3}.

Passo 3

Substituímos na integral todas as ocorrências de x e dx por expressões em u. Temos \sqrt{2-3x}=\sqrt{u}=u^{1/2}. Logo,
\int \frac{x}{\sqrt{2-3x}}\,dx = \int \frac{\dfrac{2-u}{3}}{u^{1/2}}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).

Passo 4

Simplificamos constantes e expressões algébricas fora da integral:
\frac{2-u}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{9}(2-u).
Portanto a integral fica
\int \frac{x}{\sqrt{2-3x}}\,dx = -\frac{1}{9}\int \frac{2-u}{u^{1/2}}\,du.

Passo 5

Distribuímos a divisão por u^{1/2} no integrando:
\frac{2-u}{u^{1/2}} = 2u^{-1/2} - u^{1/2}.
Assim
-\frac{1}{9}\int \frac{2-u}{u^{1/2}}\,du = -\frac{1}{9}\int\left(2u^{-1/2}-u^{1/2}\right)du.

Passo 6

Vamos integrar termo a termo usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando isso:
\int 2u^{-1/2}\,du = 2\cdot\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2\cdot 2u^{1/2} = 4u^{1/2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
-\frac{1}{9}\int\left(2u^{-1/2}-u^{1/2}\right)du = -\frac{1}{9}\left(4u^{1/2}-\frac{2}{3}u^{3/2}\right)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicamos os coeficientes:
-\frac{1}{9}\cdot 4u^{1/2} = -\frac{4}{9}u^{1/2},
-\frac{1}{9}\cdot\left(-\frac{2}{3}u^{3/2}\right) = \frac{2}{27}u^{3/2}.
Assim a primitiva em u é
-\frac{4}{9}u^{1/2}+\frac{2}{27}u^{3/2}+C.

Passo 8

Voltamos à variável original x substituindo u=2-3x:
-\frac{4}{9}\sqrt{2-3x}+\frac{2}{27}(2-3x)^{3/2}+C.

Resposta

-\dfrac{4}{9}\sqrt{2-3x}+\dfrac{2}{27}(2-3x)^{3/2}+C

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