Calcule as integrais abaixo pelo método da substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e especifica que devemos usar o método da substituição simples. As informações relevantes são: o integrando é
e a variável de integração é
. Não há outros dados ou condições.
Passo 2
Escolhemos uma substituição para eliminar a raiz e transformar a integral num polinômio em potências de uma única variável. Observando a expressão dentro da raiz, uma escolha natural é
Agora vamos relacionar
com
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Também precisamos escrever
em função de
. Isolando
em
,
Passo 3
Substituímos na integral todas as ocorrências de
e
por expressões em
. Temos
. Logo,
Passo 4
Simplificamos constantes e expressões algébricas fora da integral:
Portanto a integral fica
Passo 5
Distribuímos a divisão por
no integrando:
Assim
Passo 6
Vamos integrar termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando isso:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicamos os coeficientes:
Assim a primitiva em
é
Passo 8
Voltamos à variável original
substituindo
: