Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
em torno de
Passo 1
O que o problema pede e o que já temos.
- Pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
em torno do ponto
, e especificar o anel (ou anéis) de convergência dessa expansão.
- Informações dadas pelo enunciado (explicitadas):
- A função é
. - O ponto em torno do qual expandimos é
.
- A função é
- Observações imediatas úteis (apenas listadas; não vamos resolver aqui ainda):
- Os polos da função estão em
. Em particular, é um polo simples (fator linear no denominador). - Como estamos expandindo em torno de
, é natural usar a variável local .
- Os polos da função estão em
Passo 2
Decomposição em frações parciais (motivo: facilita a expansão em potências de
).
Procuramos constantes
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Determine
avaliando em
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Logo,
Passo 3
Mudar para a variável local
e preparar para usar série geométrica.
Defina
, então
. Reescrevemos cada parcela em função de
:
- A parcela com
:
Isto já é a parte principal (termo com
) da série de Laurent.
- A parcela com
:
Usaremos a série geométrica
Aqui
, então essa parcela expande para
válida para
.
- A parcela com
:
Aqui
, então
válida para
.
Observação sobre raios de convergência parciais: a expansão da parcela em
exige
, a de
exige
. A expansão conjunta (a interseção) exigirá
. Como há um polo em
(ou seja,
), a expansão resultante será uma série de Laurent válida na casca
, isto é
. Vamos agora calcular explicitamente os primeiros termos.
Passo 4
Expandir e somar termos até obter pelo menos quatro termos da série de Laurent (vou listar do termo mais singular para os termos positivos).
Escrevendo as duas séries geométricas até
para obter termos constantes e positivos até
ou
:
- Parcela
já dá o termo singular:
- Parcela de
:
Distribuindo:
- Parcela de
:
Distribuindo:
Agora somamos as duas séries regulares (as duas últimas parcelas) termo a termo e acrescentamos o termo singular. Calculemos coeficientes até
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente constante (
):
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
(opcional, calculado para ter mais termos):
Assim a expansão de Laurent em torno de
(com
) é
Voltando a
,
Passo 5
Justificar o anel (ou anéis) de convergência da expansão encontrada.
- Cada série geométrica usada tem raio de convergência determinado pela distância ao seu pólo mais próximo (em termos de
): para a parcela em isso deu , para a parcela em deu . A decomposição completa exige a interseção desses raios, ou seja . - Como
é um polo de ordem 1, a expansão é uma série de Laurent válida na casca (disco removido) , isto é,
- Observação extra (não solicitada, mas útil): existe também uma expansão em potências decrescentes de
válida para (expansão externa), com outro anel de convergência , porque o singular mais distante é em a distância . Mas a expansão que encontramos (com potências não-negativas de além do termo ) é a expansão em torno de válida para .
Resposta
Anel de convergência:
.