Calcule, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent das funções dadas em torno dos pontos dados. Em cada caso, especifique o anel de convergência da expansão.
f(z)=z /[(z-1)(z-3)(z-5)] em torno de z_{0}=5^{; 104}

Passo 1

O que o problema pede e o que já temos.
  • Pede: calcular, no mínimo, os primeiros quatro termos da expansão de Laurent de
f(z)=\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}
em torno do ponto z_0=5, e especificar o anel (ou anéis) de convergência dessa expansão.
  • Informações dadas pelo enunciado (explicitadas):
    • A função é f(z)=\dfrac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}.
    • O ponto em torno do qual expandimos é z_0=5.
  • Observações imediatas úteis (apenas listadas; não vamos resolver aqui ainda):
    • Os polos da função estão em z=1,\;3,\;5. Em particular, z=5 é um polo simples (fator linear no denominador).
    • Como estamos expandindo em torno de z=5, é natural usar a variável local w=z-5.

Passo 2

Decomposição em frações parciais (motivo: facilita a expansão em potências de z-5).
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}=\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z-3}+\frac{C}{z-5}.
Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z-3)(z-5) obtemos a identidade
z = A(z-3)(z-5)+B(z-1)(z-5)+C(z-1)(z-3).
Determine A,B,C avaliando em z=1,3,5:
  • Para z=1:
1 = A(1-3)(1-5) = A(-2)(-4)=8A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{8}.
  • Para z=3:
3 = B(3-1)(3-5)=B(2)(-2)=-4B \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{3}{4}.
  • Para z=5:
5 = C(5-1)(5-3)=C(4)(2)=8C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{5}{8}.
Logo,
\frac{z}{(z-1)(z-3)(z-5)}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{z-1}-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{z-3}+\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{z-5}.

Passo 3

Mudar para a variável local w=z-5 e preparar para usar série geométrica.
Defina w=z-5, então z=5+w. Reescrevemos cada parcela em função de w:
  • A parcela com z-5:
\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{z-5}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{w}.
Isto já é a parte principal (termo com w^{-1}) da série de Laurent.
  • A parcela com z-3:
-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{z-3}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{(5+w)-3}=-\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2+w}=-\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{1+\frac{w}{2}}.
Usaremos a série geométrica
\frac{1}{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n u^n,\quad\text{válida para }|u|<1.á
Aqui u=\dfrac{w}{2}, então essa parcela expande para
-\frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{w}{2}\right)^n,
válida para |w|<2.
  • A parcela com z-1:
\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{z-1}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{(5+w)-1}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4+w}=\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{1+\frac{w}{4}}.
Aqui u=\dfrac{w}{4}, então
\frac{1}{32}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{w}{4}\right)^n,
válida para |w|<4.
Observação sobre raios de convergência parciais: a expansão da parcela em z-3 exige |w|<2, a de z-1 exige |w|<4. A expansão conjunta (a interseção) exigirá |w|<2. Como há um polo em w=0 (ou seja, z=5), a expansão resultante será uma série de Laurent válida na casca 0<|w|<2, isto é 0<|z-5|<2. Vamos agora calcular explicitamente os primeiros termos.

Passo 4

Expandir e somar termos até obter pelo menos quatro termos da série de Laurent (vou listar do termo mais singular para os termos positivos).
Escrevendo as duas séries geométricas até w^3 para obter termos constantes e positivos até w^2 ou w^3:
  • Parcela \dfrac{5}{8}\dfrac{1}{w} já dá o termo singular:
\frac{5}{8}\,w^{-1}.
  • Parcela de -\dfrac{3}{8}\dfrac{1}{1+w/2}:
-\frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{w}{2}\right)^n = -\frac{3}{8}\Bigg(1-\frac{w}{2}+\frac{w^2}{4}-\frac{w^3}{8}+\cdots\Bigg).
Distribuindo:
-\frac{3}{8} + \frac{3}{16}w - \frac{3}{32}w^2 + \frac{3}{64}w^3 + \cdots.
  • Parcela de \dfrac{1}{32}\dfrac{1}{1+w/4}:
\frac{1}{32}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac{w}{4}\right)^n = \frac{1}{32}\Bigg(1-\frac{w}{4}+\frac{w^2}{16}-\frac{w^3}{64}+\cdots\Bigg).
Distribuindo:
\frac{1}{32} - \frac{1}{128}w + \frac{1}{512}w^2 - \frac{1}{2048}w^3 + \cdots.
Agora somamos as duas séries regulares (as duas últimas parcelas) termo a termo e acrescentamos o termo singular. Calculemos coeficientes até w^3:
  • Coeficiente de w^{-1}:
\frac{5}{8}.
  • Coeficiente constante ( w^0):
-\frac{3}{8}+\frac{1}{32} = -\frac{12}{32}+\frac{1}{32}=-\frac{11}{32}.
  • Coeficiente de w^1:
\frac{3}{16}-\frac{1}{128}=\frac{24}{128}-\frac{1}{128}=\frac{23}{128}.
  • Coeficiente de w^2:
-\frac{3}{32}+\frac{1}{512}=-\frac{48}{512}+\frac{1}{512}=-\frac{47}{512}.
  • Coeficiente de w^3 (opcional, calculado para ter mais termos):
\frac{3}{64}-\frac{1}{2048}=\frac{96}{2048}-\frac{1}{2048}=\frac{95}{2048}.
Assim a expansão de Laurent em torno de z_0=5 (com w=z-5) é
f(z)=\frac{5}{8}\,w^{-1}-\frac{11}{32}+\frac{23}{128}w-\frac{47}{512}w^2+\frac{95}{2048}w^3+\cdots.
Voltando a z,
f(z)=\frac{5}{8}\frac{1}{z-5}-\frac{11}{32}+\frac{23}{128}(z-5)-\frac{47}{512}(z-5)^2+\frac{95}{2048}(z-5)^3+\cdots.

Passo 5

Justificar o anel (ou anéis) de convergência da expansão encontrada.
  • Cada série geométrica usada tem raio de convergência determinado pela distância ao seu pólo mais próximo (em termos de w): para a parcela em z-3 isso deu |w|<2, para a parcela em z-1 deu |w|<4. A decomposição completa exige a interseção desses raios, ou seja |w|<2.
  • Como z=5 é um polo de ordem 1, a expansão é uma série de Laurent válida na casca (disco removido) 0<|w|<2, isto é,
0<|z-5|<2.
  • Observação extra (não solicitada, mas útil): existe também uma expansão em potências decrescentes de w válida para |w|>4 (expansão externa), com outro anel de convergência |z-5|>4, porque o singular mais distante é em z=1 a distância 4. Mas a expansão que encontramos (com potências não-negativas de w além do termo w^{-1}) é a expansão em torno de z=5 válida para 0<|z-5|<2.

Resposta

f(z)=\frac{5}{8}\frac{1}{z-5}-\frac{11}{32}+\frac{23}{128}(z-5)-\frac{47}{512}(z-5)^2+\cdots
Anel de convergência: 0<|z-5|<2.

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