Calcule as integrais abaixo revertendo a ordem de integração.
integral0^4 d x integralraizx^2 sen(y^3) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^4!integralraizx^2sinl(y^3r),dy,dx
revertendo a ordem de integração. O assunto aqui é troca de ordem em integrais iteradas e depois aplicação de substituição em uma integral simples.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração no plano (x,y). Pelos limites originais temos
0 <= x <= 4, raizx <= y <= 2
Isto significa que y varia de 0 até 2 e, para cada y, x vai de 0 até y^2, pois raizx<= y é equivalente a x<= y^2.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, a integral vira
integraly=0^2!integralx=0^y^2sinl(y^3r),dx,dy

Passo 4

Note que sin(y^3) não depende de x, então a integral interna em x é simples:
integral0^y^2sinl(y^3r),dx = sinl(y^3r)integral0^y^2dx = y^2,sinl(y^3r)

Passo 5

Fica então
integral0^2y^2,sinl(y^3r),dy
Para resolver, usamos a substituição
u = y^3, du = 3,y^2,dy ;Longrightarrow; y^2,dy = du3
Quando y=0, u=0; quando y=2, u=8. Assim
integral0^2y^2sinl(y^3r),dy = integral0^8sin(u),du3 = 13integral0^8sin(u),du = 13l[-cos(u)r]0^8 = 13l(1-cos(8)r)

Resposta

1-cos(8)3

Exercícios relacionados