Calcule as integrais abaixo revertendo a ordem de integração.
integral0^2 d x integralx^3^8 x^2 cos (y^2) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^2 !dx integralx^3^8 x^2cosl(y^2r),dy
revertendo a ordem de integração. O conteúdo é mudança de ordem em integral dupla (Teorema de Fubini) e cálculo de integrais iteradas por substituição.

Passo 2

Descrevemos o domínio de integração D. Temos
D = (x,y)mid 0<= x<= 2,;x^3<= y<= 8
Ao projetar em y, vemos que y varia de 0 (quando x=0) até 8 (quando x=2).

Passo 3

Invertendo a ordem, fixamos yin[0,8] e achamos x em função de y. Da condição x^3<= y e x>=0 vem
0 <= x <= y^1/3
Logo a integral vira
I = integral0^8 !dy integral0^y^1/3 x^2cosl(y^2r),dx

Passo 4

Integramos em x primeiro. Como cos(y^2) é constante em relação a x,
integral0^y^1/3 x^2cosl(y^2r),dx = cosl(y^2r)integral0^y^1/3 x^2,dx = cosl(y^2r),y3
Assim
I = integral0^8 y3cosl(y^2r),dy = 13integral0^8 ycosl(y^2r),dy

Passo 5

Fazemos a substituição u=y^2, du=2y,dy (logo y,dy = du/2). Então
integral0^8 ycosl(y^2r),dy = integral0^64 cos(u)2,du = tfrac12l[sin(u)r]0^64 = tfrac12sin(64)
Logo
I = 13cdot 12sin(64) = 16sin(64)

Resposta

16sin(64)

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