Seja a um número real arbitrário e defina f: R-a R por:
f(x)=x^2-a^2x-a
(a) Calcule:
lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e lim x a f(x)
(b) A reta x=a é uma assíntota vertical ao gráfico de f ?

Passo 1

O enunciado define a função
fcolon RsetminusatoR por
f(x)=x^2-a^2x-a
e pede (a) os limites limxto a^-f(x), limxto a^+f(x) e limxto af(x), e (b) se x=a é assíntota vertical. Vamos usar fatoração, propriedades de limites e o conceito de assíntota vertical (que ocorre quando f(x)topminfty ao nos aproximarmos de x=a).

Passo 2

Para xneq a, fatoramos o numerador:
x^2-a^2=(x-a)(x+a)
Logo
f(x)=(x-a)(x+a)x-a=x+a

Passo 3

Como f(x)=x+a para xneq a, ao fazermos xto a (tanto pela esquerda quanto pela direita) temos
f(x)to a+a=2a
Portanto
limxto a^-f(x)=2a, limxto a^+f(x)=2a e limxto af(x)=2a

Passo 4

Uma reta x=a é assíntota vertical se f(x)topminfty quando xto a^pm. Aqui f(x)to2a é finito, logo não há assíntota vertical em x=a.

Resposta

(a) limxto a^-f(x)=2a,;limxto a^+f(x)=2a,;limxto af(x)=2a
(b) Não. A reta x=a não é assíntota vertical.

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