Encontre a solução geral da EDO dada.
y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = 3e^3x
O conteúdo envolvido é:
  1. Resolver a equação homogênea associada usando a equação característica.
  2. Encontrar uma solução particular por método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
yh'' - 2yh' - 3yh = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0
As raízes são
r = 2 pm raiz4 +122 = 2 pm 42 Longrightarrow r1 = 3,; r2 = -1
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-x

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp de
y'' - 2y' - 3y = 3e^3x
Como o termo forçante é 3e^3x e e^3x já aparece em yh, usamos o ansatz
yp(x) = A x e^3x,
multiplicando por x para remover a ressonância.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = A e^3x + 3Ax e^3x, yp'' = 6A e^3x + 9Ax e^3x
Substituindo na EDO à esquerda:
yp'' - 2yp' - 3yp = l(6A e^3x + 9Ax e^3xr) -2l(A e^3x + 3Ax e^3xr) -3l(Ax e^3xr)
Agrupando termos dá
4A e^3x + (9A -6A -3A)x e^3x = 4A e^3x
Igualando ao lado direito 3e^3x resulta
4A e^3x = 3e^3x Longrightarrow A = 34

Passo 5

A solução particular é
yp(x) = 34,x e^3x
Logo a solução geral da EDO é
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + 34,x e^3x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-x + 34,x e^3x

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