Seja
um espaço vetorial normado.
Mostre que uma contração
possui, no máximo, um ponto fixo.
Mostre que uma contração
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial normado
, uma aplicação
que é contração (isto é, existe
com
tal que
para todos
) não pode ter dois pontos fixos distintos. Vamos usar o fato central da definição de contração para comparar dois supostos pontos fixos.
Passo 2
Suponha que existam dois pontos fixos
e
em
, isto é,
e
. Aplicando a desigualdade de contração, obtemos
Como
, podemos subtrair
de ambos os lados e ficar com
Mas
implica que
deve ser zero, logo
. Portanto, não há como ter dois pontos fixos distintos.
Resposta
Conclusão: uma contração em um espaço normado possui no máximo um ponto fixo.