Seja X um espaço vetorial normado.
Mostre que uma contração T: X X possui, no máximo, um ponto fixo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço vetorial normado X, uma aplicação T: X to X que é contração (isto é, existe k com 0 <= k < 1 tal que |T(x)-T(y)| <= k,|x-y| para todos x,yin X) não pode ter dois pontos fixos distintos. Vamos usar o fato central da definição de contração para comparar dois supostos pontos fixos.

Passo 2

Suponha que existam dois pontos fixos x e y em X, isto é, T(x)=x e T(y)=y. Aplicando a desigualdade de contração, obtemos
|x - y| = |T(x) - T(y)| <= k,|x - y|
Como 0 <= k < 1, podemos subtrair k,|x-y| de ambos os lados e ficar com
(1 - k),|x - y| <= 0
Mas 1-k>0 implica que |x-y| deve ser zero, logo x = y. Portanto, não há como ter dois pontos fixos distintos.

Resposta

Conclusão: uma contração em um espaço normado possui no máximo um ponto fixo.

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