Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando frações parciais. O conteúdo envolvido é a integração de funções racionais, para o qual vamos precisar fazer primeiro a divisão de polinômios (porque o grau do numerador é maior que o do denominador) e depois decompor a parte própria em frações simples.
Passo 2
Vamos dividir
por
. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
Note que
Agora decompomos em frações simples: queremos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Comparando coeficientes: de
vem
então
; no termo constante
dá
. Assim
Substituindo de volta na integral,
Agora integramos termo a termo usando
Juntando tudo,
$$
2x^2 +4x +3\ln|2x -1| - \frac{1}{2x -1} + C.
$$