Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
integral 16 x^34^2-4 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral 16x^34x^2 -4x +1,dx usando frações parciais. O conteúdo envolvido é a integração de funções racionais, para o qual vamos precisar fazer primeiro a divisão de polinômios (porque o grau do numerador é maior que o do denominador) e depois decompor a parte própria em frações simples.

Passo 2

Vamos dividir 16x^3 por 4x^2 -4x +1. Fazendo a divisão polinomial, obtemos:
16x^34x^2 -4x +1 = 4x + 4 + 12x - 44x^2 -4x +1
Note que 4x^2 -4x +1 = (2x -1)^2. Logo a parte própria fica
12x - 4(2x -1)^2
Agora decompomos em frações simples: queremos 12x -4(2x -1)^2 = A2x -1 + B(2x -1)^2 Multiplicando ambos os lados por (2x -1)^2 obtemos
12x -4 = A(2x -1) + B = 2Ax - A + B

Passo 3

Comparando coeficientes: de x vem 2A = 12 então A = 6; no termo constante -A + B = -4 B = 2. Assim
12x -4(2x -1)^2 = 62x -1 + 2(2x -1)^2
Substituindo de volta na integral,
integral 16x^34x^2 -4x +1,dx = integrall(4x +4 + 62x -1 + 2(2x -1)^2r)dx
Agora integramos termo a termo usando
integral x,dx = tfrac12x^2,integral dx = x,integral dx2x -1 = 12ln|2x -1|,integral dx(2x -1)^2 = -12(2x -1)
Juntando tudo,
$$
2x^2 +4x +3\ln|2x -1| - \frac{1}{2x -1} + C.
$$

Resposta

2x^2 +4x +3ln|2x -1| - tfrac12x -1 + C

Exercícios relacionados