Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxx,(x^2 - x + 1)^2 usando frações parciais. O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais de uma função racional e, depois, integrar termo a termo, usando também técnicas de substituição e fórmulas conhecidas para integrais de integral dx/(u^2+a^2) e integral dx/(u^2+a^2)^2.

Passo 2

Proponho a seguinte decomposição em frações parciais: seja
1x,(x^2 - x + 1)^2 = Ax + B x + Cx^2 - x + 1 + D x + E(x^2 - x + 1)^2,
Multiplicando ambos os lados por x,(x^2 - x + 1)^2 e igualando coeficientes, obtemos o sistema
1 = A(x^2 - x + 1)^2 + (B x + C)x(x^2 - x + 1) + (D x + E)x
Analisando termo a termo (e usando x=0 para achar A imediatamente), chega-se a
A = 1, B = -1, C = 1, D = -1, E = 1

Passo 3

Logo a integral vira a soma de três partes:
integral dxx + integral -x+1x^2 - x + 1,dx + integral -x+1(x^2 - x + 1)^2,dx

Passo 4

A primeira parte é direta:
integral dxx = ln|x| + C1

Passo 5

Para a segunda parte, note que (x^2 - x + 1)' = 2x - 1. Escrevemos
-x+1 = alpha(2x-1) + beta
e encontramos alpha = -tfrac12, beta = tfrac12. Assim
integral -x+1x^2 - x + 1,dx = -tfrac12 ln(x^2 - x + 1) + tfrac12 integral dxx^2 - x + 1
E
integral dxx^2 - x + 1 = integral duu^2 + (tfracraiz32)^2 = 2raiz3arctanl(2x-1raiz3r) + C2
Portanto a segunda parte é
-tfrac12 ln(x^2 - x + 1) + tfrac1raiz3arctanl(2x-1raiz3r)

Passo 6

Para a terceira parte, de novo escrevemos
-x+1 = A(2x-1) + B
e achamos A=-tfrac12, B=tfrac12. Assim
integral -x+1(x^2 - x + 1)^2,dx = -tfrac12 integral 2x-1(x^2 - x + 1)^2,dx + tfrac12 integral dx(x^2 - x + 1)^2
Observamos que
integral 2x-1(x^2 - x + 1)^2,dx = -1x^2 - x + 1 + C3
e, usando a fórmula
integral dx(u^2 + a^2)^2 = u2a^2(u^2+a^2) + 12a^3arctanl(uar) + C,
com u=x-tfrac12 e a=tfracraiz32, obtemos
integral dx(x^2 - x + 1)^2 = 2(x-tfrac12)3(x^2 - x + 1) + 43raiz3arctanl(2x-1raiz3r) + C4
Assim a terceira parte se simplifica a
x+13(x^2 - x + 1) + 23raiz3arctanl(2x-1raiz3r)

Passo 7

Juntando tudo e somando as constantes de integração, a resposta final é dada por:
ln|x| - tfrac12ln(x^2 - x + 1) + 53raiz3arctanl(2x-1raiz3r) + x+13(x^2 - x + 1) + C

Resposta

integral dxx,(x^2 - x + 1)^2 = ln|x| - tfrac12ln(x^2 - x + 1) + 53raiz3arctanl(2x-1raiz3r) + x+13(x^2 - x + 1) + C

Exercícios relacionados