Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando frações parciais. O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais de uma função racional e, depois, integrar termo a termo, usando também técnicas de substituição e fórmulas conhecidas para integrais de
e
.
Passo 2
Proponho a seguinte decomposição em frações parciais: seja
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos o sistema
Analisando termo a termo (e usando
para achar
imediatamente), chega-se a
Passo 3
Logo a integral vira a soma de três partes:
Passo 4
A primeira parte é direta:
Passo 5
Para a segunda parte, note que
. Escrevemos
e encontramos
,
. Assim
E
Portanto a segunda parte é
Passo 6
Para a terceira parte, de novo escrevemos
e achamos
,
. Assim
Observamos que
e, usando a fórmula
com
e
, obtemos
Assim a terceira parte se simplifica a
Passo 7
Juntando tudo e somando as constantes de integração, a resposta final é dada por: