Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:

Passo 1

Temos a integral de uma função racional, então o conteúdo aqui é integração por frações parciais. Vamos decompor o integrando em frações simples para depois integrar termo a termo.

Passo 2

Propondo a decomposição, escrevemos
x^2+2x-1(x-1)^2(x^2+1)=Ax-1+B(x-1)^2+Cx+Dx^2+1
e precisamos determinar as constantes A, B, C e D.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2(x^2+1) e igualamos polinômios:
x^2+2x-1=A(x-1)(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)(x-1)^2
Expandindo e agrupando coeficientes de x^3,x^2,x, e constante, obtemos o sistema:
A+C=0, -A+B-2C+D=1, A+C-2D=2, -A+B+D=-1
Resolvendo, achamos A=1, B=1, C=-1, D=-1.

Passo 4

Substituindo na decomposição, o integrando vira
1x-1+1(x-1)^2-x+1x^2+1
Agora integramos cada parcela separadamente.

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral1x-1dx=ln|x-1|, integral1(x-1)^2dx=-1x-1, integralxx^2+1dx=tfrac12ln(x^2+1), integral1x^2+1dx=arctan x
Então

Resposta

ln|x-1|-tfrac1x-1-tfrac12ln(x^2+1)-arctan x+C

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