Calcule as integrais abaixo usando frações parciais:
Passo 1
Temos a integral de uma função racional, então o conteúdo aqui é integração por frações parciais. Vamos decompor o integrando em frações simples para depois integrar termo a termo.
Passo 2
Propondo a decomposição, escrevemos
e precisamos determinar as constantes A, B, C e D.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados por e igualamos polinômios:
Expandindo e agrupando coeficientes de e constante, obtemos o sistema:
Resolvendo, achamos A=1, B=1, C=-1, D=-1.
Passo 4
Substituindo na decomposição, o integrando vira
1x-1+1(x-1)^2-x+1x^2+1
Agora integramos cada parcela separadamente.
Passo 5
Integramos termo a termo:
integral1x-1dx=ln|x-1|, integral1(x-1)^2dx=-1x-1, integralxx^2+1dx=tfrac12ln(x^2+1), integral1x^2+1dx=arctan x