Calcule v sendo dados:
(1,1) e o versor de .

Passo 1

O exercício pede pra gente calcular a derivada direcional de f(x,y)=arctg(x/y) no ponto (x0,y0)=(3,3) na direção do versor de (1,1). O conteúdo principal aqui é derivada direcional e gradiente, e vamos usar a definição
partial fpartial v(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdot v

Passo 2

Para achar o gradiente de f, note que podemos definir u=xy e usar a regra da cadeia em f(x,y)=arctg(u). Sabemos que dduarctan(u)=11+u^2. Assim:
partial fpartial x=11+(x/y)^2cdotpartialpartial xl(xyr) =11+(x/y)^2cdot1y =yx^2+y^2,
partial fpartial y=11+(x/y)^2cdotpartialpartial yl(xyr) =11+(x/y)^2cdotl(-xy^2r) =-xx^2+y^2

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (3,3). Como x^2+y^2=3^2+3^2=18, temos
nabla f(3,3)=l(tfrac318,,-tfrac318r)=l(tfrac16,,-tfrac16r)

Passo 4

Precisamos do versor de (1,1). A norma de (1,1) é raiz1^2+1^2=raiz2, então
v=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
partial fpartial v(3,3)=nabla f(3,3)cdot v =l(tfrac16,-tfrac16r)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =16raiz2-16raiz2 =0

Resposta

0

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