Exercício 16 Uma função f: A subset R^2 R é dita homogênea de grau lambda se
f(t x, t y)=t^lambda f(x, y)para todo t>0 em todos os pontos (x, y) in A tais que (t x, t y) in A.
Verifique que as seguintes funções são homogêneas e obtenha o grau.
f(x, y)=x e^xyx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função é homogênea e achar o grau, usando a definição: uma função f(x,y) é homogênea de grau λ se para todo t>0 valendo (tx,ty) em A vale f(tx,ty)=t^λ f(x,y). Aqui temos f(x,y)= x e^x/yx^2+y^2. Vamos usar isso.

Passo 2

Calculemos f(tx,ty). Substituindo (x,y) por (tx,ty) em f:

Passo 3

f(tx,ty)=(tx),e^txty(tx)^2+(ty)^2 =tx,e^x/yt^2(x^2+y^2) =tt^2x e^x/yx^2+y^2 = t^-1f(x,y)

Resposta

A função é homogênea de grau -1.

Exercícios relacionados