Uma função diferenciável f(x, y) tem, no ponto (1,1), derivada direcional igual a 3 na direção (3,4) e igual a -1 na direção (4,-3). Calcule:
(a) nabla f(1,1).
(b) partial fpartial v(1,1) onde v o versor de (1,1).

Passo 1

O enunciado pede para achar o gradiente de uma função diferenciável f(x,y) em (1,1) a partir de derivadas direcionais conhecidas nas direções (3,4) e (4,-3), e depois calcular a derivada direcional na direção do versor de (1,1). O conteúdo é derivadas direcionais, gradiente e produto escalar.

Passo 2

Para derivada direcional lembramos que, se nabla f(1,1)=(a,b) e u é um versor, então
[ Duf(1,1)=nabla f(1,1)cdotu]
As direções dadas não são versores, então normalizamos:
[ u1=(3,4)5,u2=(4,-3)5]

Passo 3

Usando Du1f=3 e Du2f=-1 temos o sistema
[ 3a+4b5=3,4a-3b5=-1]
Multiplicando por 5 e resolvendo
[ 3a+4b=15,4a-3b=-5]
Somando as duas equações (após escalar) dá 25a=25 então a=1; substituindo em 3a+4b=15 vem b=3. Assim nabla f(1,1)=(1,3).

Passo 4

Para a parte (b) precisamos do versor de (1,1):
[ v=(1,1)raiz2]
E a derivada direcional é o produto escalar
[ Dvf(1,1)=nabla f(1,1)cdotv=(1,3)cdot(1,1)raiz2=1+3raiz2=2raiz2]

Resposta

nabla f(1,1)=(1,3) e partial fpartial v(1,1)=2raiz2.

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