Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule:
(a)
.
(b)
onde
o versor de
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para achar o gradiente de uma função diferenciável
em
a partir de derivadas direcionais conhecidas nas direções
e
, e depois calcular a derivada direcional na direção do versor de
. O conteúdo é derivadas direcionais, gradiente e produto escalar.
Passo 2
Para derivada direcional lembramos que, se
e
é um versor, então
[
]
As direções dadas não são versores, então normalizamos:
[ ]
As direções dadas não são versores, então normalizamos:
[
Passo 3
Usando
e
temos o sistema
[
]
Multiplicando por 5 e resolvendo
[ ]
Multiplicando por 5 e resolvendo
[
Somando as duas equações (após escalar) dá
então
; substituindo em
vem
. Assim
.
Passo 4
Para a parte (b) precisamos do versor de
:
[
]
E a derivada direcional é o produto escalar
[ ]
E a derivada direcional é o produto escalar
[