Calcule as integrais abaixo usando frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é uma maneira de dividir frações complexas em expressões mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a fração
como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
Aqui,
e
são constantes que vamos precisar encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com
:
Para os termos constantes:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
-
→ Podemos simplificar dividindo tudo por 2: -
Vamos resolver a equação (1) para
:
Substituímos
na equação (2):
Agora, encontramos
:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos escrever a expressão original como:
Simplificando:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
A integral fica:
As integrais de
são
.
Então:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.