Calcule as integrais abaixo usando frações parciais.
integral 1+6 x(4 x-3)(2 x+5) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de 1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) em relação a x. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que é uma maneira de dividir frações complexas em expressões mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a fração 1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) como a soma de duas frações mais simples. Vamos supor que:
1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) = A4x - 3 + B2x + 5
Aqui, A e B são constantes que vamos precisar encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (4x - 3)(2x + 5) para eliminar os denominadores:
1 + 6x = A(2x + 5) + B(4x - 3)
Agora, vamos expandir o lado direito:
1 + 6x = 2A x + 5A + 4B x - 3B
Juntando os termos semelhantes:
1 + 6x = (2A + 4B)x + (5A - 3B)
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com x:
2A + 4B = 6
Para os termos constantes:
5A - 3B = 1

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. 2A + 4B = 6 → Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
    A + 2B = 3 (1)
  2. 5A - 3B = 1 (2)
Vamos resolver a equação (1) para A:
A = 3 - 2B
Substituímos A na equação (2):
5(3 - 2B) - 3B = 1 15 - 10B - 3B = 1 15 - 13B = 1 -13B = -14 B = 1413
Agora, encontramos A:
A = 3 - 2(1413) = 3 - 2813 = 39 - 2813 = 1113

Passo 5

Agora que temos A = 1113 e B = 1413, podemos escrever a expressão original como:
1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) = 11134x - 3 + 14132x + 5
Simplificando:
1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) = 1113(4x - 3) + 1413(2x + 5)
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 6

A integral fica:
integral 1 + 6x(4x - 3)(2x + 5) dx = 1113 integral 14x - 3 dx + 1413 integral 12x + 5 dx
As integrais de 1ax + b são 1a ln|ax + b| + C.
Então:
= 1113 cdot 14 ln|4x - 3| + 1413 cdot 12 ln|2x + 5| + C
Simplificando os coeficientes:
= 1152 ln|4x - 3| + 713 ln|2x + 5| + C

Resposta

A integral é igual a 1152 ln|4x - 3| + 713 ln|2x + 5| + C, onde C é a constante de integração.

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