Calcule as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função algébrica dividida por uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador
, uma boa ideia é definir
. Dessa forma, a parte dentro da raiz fica mais simples. Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que
, e como
, podemos substituir
por
:
Substituindo
por
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se de que a integral de
em relação a
é
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Finalmente, vamos voltar para a variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.