Calcule as integrais:
integral r^3raiz4+r^2 d r

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função algébrica dividida por uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que facilite a integral. Observando o denominador du = 2r , dr Rightarrow r , dr = du2 , uma boa ideia é definir . Dessa forma, a parte dentro da raiz fica mais simples. Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Sabemos que integral r^3raiz4 + r^2 dr = integral r(u - 4)raizu dr , e como = integral (u - 4)raizu cdot du2 = 12 integral u - 4u^1/2 du , podemos substituir por :
Substituindo por :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
u - 4u^1/2 = u^1 - 12 - 4u^-12 = u^12 - 4u^-12
Então, a integral fica:
12 integral ( u^12 - 4u^-12 ) du

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se de que a integral de 12 ( u^3232 - 4 cdot u^1212 ) + C em relação a 12 ( 23 u^32 - 8 u^12 ) + C = 13 u^32 - 4 u^12 + C é :
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Finalmente, vamos voltar para a variável original 13 (4 + r^2)^32 - 4 (4 + r^2)^12 + C , lembrando que :

Resposta

A integral 13 (4 + r^2)^32 - 4 (4 + r^2)^12 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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