Calcule as integrais:
integral(1+x^2) e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o cálculo de integrais que combinam polinômios com funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de integração por partes, que é uma técnica muito útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, precisamos identificar quais partes da nossa integral vão ser e .

Passo 3

Vamos escolher du = ddx(1 + x^2) , dx = 2x , dx e v = integral e^3x , dx = 13 e^3x . Agora, vamos calcular e :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral(1+x^2) e^3 x , dx = u cdot v - integral v , du
= (1 + x^2) cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot 2x , dx
= 1 + x^23 e^3x - 23 integral x e^3x , dx
Agora, temos uma nova integral para resolver:

Passo 5

Vamos aplicar novamente a integração por partes para u = x Rightarrow du = dx . Desta vez, definimos:
dv = e^3x , dx Rightarrow v = 13 e^3x

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
integral x e^3x , dx = u cdot v - integral v , du
= x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x cdot dx
= x3 e^3x - 13 integral e^3x , dx
= x3 e^3x - 13 cdot 13 e^3x
= x3 e^3x - 19 e^3x

Passo 7

Voltando à nossa expressão anterior:
integral(1+x^2) e^3 x , dx = 1 + x^23 e^3x - 23 ( x3 e^3x - 19 e^3x )
= 1 + x^23 e^3x - 2x9 e^3x + 227 e^3x

Passo 8

Agora, vamos simplificar a expressão combinando os termos semelhantes:
= ( 1 + x^23 - 2x9 + 227 ) e^3x
= ( 9(1 + x^2) - 6x + 227 ) e^3x
= ( 9 + 9x^2 - 6x + 227 ) e^3x
= ( 11 + 9x^2 - 6x27 ) e^3x

Passo 9

Finalmente, podemos fatorar e simplificar se necessário, mas a expressão já está simplificada. Portanto, a integral é:

Resposta

integral(1+x^2) e^3 x , dx = ( 11 + 9x^2 - 6x27 ) e^3x + C
Onde é a constante de integração.

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