Qual é a forma da decomposição em frações parciais de uma função racional
se o grau de
for menor que o grau de
e
tiver apenas fatores lineares distintos? O que acontece se um fator linear é repetido? O que acontece se
tiver um fator quadrático irredutível (não repetido)? O que acontece se o fator quadrático é repetido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre como decompor uma função racional
em frações parciais. A condição é que o grau de
seja menor que o de
e que
tenha apenas fatores lineares distintos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar integrais e resolver equações diferenciais, entre outras aplicações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma fração parcial. Basicamente, é quebrar uma fração mais complicada em uma soma de frações mais simples. Isso facilita bastante o trabalho com integrais, por exemplo. Quando temos que o denominador
é fatorado em fatores lineares distintos, a decomposição é mais direta.
Passo 3
Se
tem apenas fatores lineares distintos, digamos
, então a decomposição em frações parciais fica assim:
Cada letra (
,
,
, etc.) representa uma constante que a gente determina resolvendo um sistema de equações.
Passo 4
Agora, se um dos fatores lineares se repete, por exemplo,
, a decomposição muda um pouco. A gente precisa considerar todas as potências até a repetição. Então fica assim:
Isso garante que cobrimos todas as possíveis repetições do fator.
Passo 5
E se o denominador
tiver um fator quadrático que não pode ser fatorado mais, ou seja, é irredutível, como
, a decomposição precisa incluir termos que também são quadráticos no numerador. Assim:
Aqui, além da constante, temos um termo linear (
) no numerador porque o denominador é quadrático.
Passo 6
Por último, se o fator quadrático irredutível se repete, digamos
, a decomposição vai incluir todas as potências até a repetição:
Isso cobre todas as possibilidades quando temos fatores quadráticos repetidos.
Resposta
A decomposição em frações parciais de uma função racional
, onde o grau de
é menor que o de
, é dada por:
-
Se
tem apenas fatores lineares distintos: -
Se um fator linear é repetido:
-
Se
tem um fator quadrático irredutível: -
Se o fator quadrático é repetido:
Essas formas permitem decompor a função racional em somas de frações mais simples, facilitando cálculos e análises posteriores.