Qual é a forma da decomposição em frações parciais de uma função racional P(x)/Q(x) se o grau de P for menor que o grau de Q e Q(x) tiver apenas fatores lineares distintos? O que acontece se um fator linear é repetido? O que acontece se Q(x) tiver um fator quadrático irredutível (não repetido)? O que acontece se o fator quadrático é repetido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando sobre como decompor uma função racional P(x)/Q(x) em frações parciais. A condição é que o grau de P seja menor que o de Q e que Q(x) tenha apenas fatores lineares distintos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a técnica de decomposição em frações parciais, que ajuda a simplificar integrais e resolver equações diferenciais, entre outras aplicações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma fração parcial. Basicamente, é quebrar uma fração mais complicada em uma soma de frações mais simples. Isso facilita bastante o trabalho com integrais, por exemplo. Quando temos que o denominador Q(x) é fatorado em fatores lineares distintos, a decomposição é mais direta.

Passo 3

Se Q(x) tem apenas fatores lineares distintos, digamos , então a decomposição em frações parciais fica assim:
Cada letra ( A, B, C, etc.) representa uma constante que a gente determina resolvendo um sistema de equações.

Passo 4

Agora, se um dos fatores lineares se repete, por exemplo, , a decomposição muda um pouco. A gente precisa considerar todas as potências até a repetição. Então fica assim:
Isso garante que cobrimos todas as possíveis repetições do fator.

Passo 5

E se o denominador Q(x) tiver um fator quadrático que não pode ser fatorado mais, ou seja, é irredutível, como , a decomposição precisa incluir termos que também são quadráticos no numerador. Assim:
Aqui, além da constante, temos um termo linear ( ) no numerador porque o denominador é quadrático.

Passo 6

Por último, se o fator quadrático irredutível se repete, digamos , a decomposição vai incluir todas as potências até a repetição:
Isso cobre todas as possibilidades quando temos fatores quadráticos repetidos.

Resposta

A decomposição em frações parciais de uma função racional P(x)/Q(x), onde o grau de P é menor que o de Q, é dada por:
  • Se Q(x) tem apenas fatores lineares distintos:
  • Se um fator linear é repetido:
  • Se Q(x) tem um fator quadrático irredutível:
  • Se o fator quadrático é repetido:
Essas formas permitem decompor a função racional em somas de frações mais simples, facilitando cálculos e análises posteriores.

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