Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int e^{2 x} \cos x dx

Passo 1

Resumão: precisamos calcular a integral integral e^2xcos x, dx usando integração por partes. O conteúdo principal é integração por partes, e vamos usar a fórmula integral u, dv = u v - integral v, du.

Passo 2

Na primeira aplicação, escolhemos u = e^2x e dv = cos x, dx. Daí derivamos e integramos, obtendo du = 2e^2x, dx e v = sin x. Aplicando a fórmula, a integral vira I = e^2xsin x - integral sin x cdot 2e^2x, dx.

Passo 3

Aquela integral interna é integral e^2xsin x, dx, então definimos J = integral e^2xsin x, dx. Assim, ficou I = e^2xsin x - 2J.

Passo 4

Para achar J, repetimos o processo: escolhemos u = e^2x e dv = sin x, dx, daí du = 2e^2x, dx e v = -cos x. Logo, J = -e^2xcos x + 2integral e^2xcos x, dx. Esse integral é o nosso I, então J = -e^2xcos x + 2I.

Passo 5

Agora substituímos J em I = e^2xsin x - 2J. Fazendo isso, a gente chega em
5I = e^2x(sin x + 2cos x)
mesmo.

Passo 6

Pra fechar, basta dividir ambos os lados por 5 e não esquecer da constante de integração C. Aí você tem a expressão da integral.

Resposta

e^2x5(sin x + 2cos x) + C

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