Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int x^{2} e^{x} dx

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular a integral
integral x^2 e^x , dx
usando o método de integração por partes. Isso faz parte de Cálculo integral e a gente vai precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e de derivar e integrar coisas simples (polinômio e exponencial).

Passo 2

Primeiro, escolhemos em integral x^2e^xdx:
  • u = x^2 (porque derivando simplifica o polinômio)
  • dv = e^xdx (porque integrar exponencial é tranquilo)
Agora derivamos u e integramos dv:
du = 2x,dx, v = integral e^xdx = e^x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x^2e^xdx = u,v - integral v,du = x^2e^x - integral e^x,(2x,dx) = x^2e^x - 2integral x,e^xdx
Então agora sobra calcular integral x,e^xdx — ainda por partes.

Passo 4

Para integral x,e^xdx, fazemos de novo:
  • u = x
  • dv = e^xdx
    Logo
du = dx, v = e^x
Então
integral x,e^xdx = x,e^x - integral e^xdx = x,e^x - e^x + C
Voltando na conta do Passo 3:
-2integral x,e^xdx = -2l(x,e^x - e^xr) = -2x,e^x + 2e^x

Resposta

Juntando tudo, a integral fica
integral x^2e^xdx = x^2e^x - 2x,e^x + 2e^x + C = e^xl(x^2 - 2x + 2r) + C

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