Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int x e^{2 x} dx

Passo 1

Nossa missão é calcular integral x e^2x,dx usando o método de integração por partes. Isso faz parte de Cálculo Integral e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e saber integrar exponenciais.

Passo 2

A integração por partes serve pra transformar uma integral que parece difícil num produto de duas funções menos complicado e numa nova integral que geralmente é mais fácil.

Passo 3

Precisamos escolher quais partes da nossa integral vão ser u e dv. Uma escolha natural é
u = x (porque ao derivar vira 1)
dv = e^2x,dx (porque sabemos integrar exponenciais)

Passo 4

Agora derivamos u e integramos dv:
du = dx
v = integral e^2x,dx = 12,e^2x

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula da integração por partes:
integral x e^2x,dx = u,v - integral v,du = xcdot12 e^2x ;-;integral 12 e^2x,dx

Passo 6

Só falta calcular integral tfrac12 e^2x,dx. Como
integral e^2x,dx = 12 e^2x,
temos
integral tfrac12 e^2x,dx = tfrac12cdottfrac12 e^2x = tfrac14 e^2x
Logo
integral x e^2x,dx = x2e^2x - 14 e^2x + C = e^2x(2x-1)4 + C

Resposta

e^2x(2x-1)4 + C

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