Calcule as integrais abaixo usando o método da integração por partes:
\int x^{2} e^{1-x} dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2e^1-x,dx
usando o método de integração por partes.
O conteúdo necessário é a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
além de saber diferenciar u e integrar dv.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = e^1-x,dx
Então
du = 2x,dx,
e para achar v precisamos integrar dv:
v = integral e^1-x,dx
Como ddxl(e^1-xr)=-e^1-x, temos
v = -,e^1-x

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x^2e^1-x,dx = u,v - integral v,du = -,x^2e^1-x - integrall(-,e^1-xr),2x,dx = -,x^2e^1-x + 2integral x,e^1-x,dx

Passo 4

Agora faltou calcular
integral x,e^1-x,dx
Repetimos o mesmo processo:
escolhemos u = x, dv = e^1-x,dx, logo du = dx e v = -,e^1-x.
Aplicando:
integral x,e^1-x,dx = u,v - integral v,du = -,x,e^1-x - integrall(-,e^1-xr),dx = -,x,e^1-x + integral e^1-x,dx
Mas já sabemos integral e^1-x,dx = -,e^1-x, portanto
integral x,e^1-x,dx = -,x,e^1-x - e^1-x = -,e^1-x,(x+1)

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 3:
integral x^2e^1-x,dx = -,x^2e^1-x + 2l[-,e^1-x,(x+1)r] + C = -,e^1-xl(x^2 + 2(x+1)r) + C
Simplificando o parêntese:
x^2 + 2(x+1) = x^2 + 2x + 2

Resposta

integral x^2e^1-x,dx = -,e^1-xl(x^2 + 2x + 2r) + C

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